Considere a função
f(x, y)=cc xy^2+x y, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
a) (1,0) f é contínua em (0,0) ?

Passo 1

Temos a função por partes
f(x,y)= xy^2+xy, & (x,y)neq(0,0), 0, & (x,y)=(0,0)
O assunto aqui é continuidade de funções de duas variáveis. Para mostrar continuidade em (0,0) teríamos que verificar se lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0.

Passo 2

Para usar a definição de limite, note que o denominador y^2+xy anula em y=0 e y=-x, então não podemos aproximar por essas linhas. Escolhemos linhas do tipo y=kx com kneq0,-1 para analisar o limite em trajetórias viáveis.

Passo 3

Substituindo y=kx em f(x,y):
f(x,kx)=x(kx)^2+x(kx)=xx^2(k^2+k)=1x,(k^2+k)

Passo 4

À medida que (x,y)to(0,0) pela reta y=kx, temos xto0 e
f(x,kx)=1x,(k^2+k)topminfty,
ou seja, não converge a 0 nem a valor finito. Isso mostra que o limite não existe e, portanto, f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função não é contínua em (0,0).

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