Calcule as derivadas parciais de 1^ a ordem da função f(x, y)=y ln (x^2 y)x^2-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo de derivadas parciais de primeira ordem. A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função $ f(x, y) = \frac{y \ln(x^2 y)}{x^2 - y^2} $ em relação a $ x $ e $ y $. Para isso, vamos usar as regras de derivação dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que é denotada por $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Para isso, vamos tratar $ y $ como uma constante e derivar a função em relação a $ x $.

Passo 3

Vamos aplicar a regra do quociente, que diz que se temos uma função $ \frac{u(x)}{v(x)} $, sua derivada é $ \frac{u’(x)v(x) - u(x)v’(x)}{v(x)^2} $. Aqui, $ u(x) = y \ln(x^2 y) $ e $ v(x) = x^2 - y^2 $.

Passo 4

Primeiro, derivamos $ u(x) $ em relação a $ x $. Usando a regra da cadeia, temos:
u(x)

Passo 5

Agora, derivamos $ v(x) $ em relação a $ x $:
v(x)

Passo 6

Aplicando a regra do quociente:
partial fpartial x = u'(x) v(x) - u(x) v'(x)v(x)^2 = (2x)(x^2 - y^2) - y ln(x^2 y) cdot 2x(x^2 - y^2)^2
Simplificando:
partial fpartial x = 2(x^2 - y^2)/x - 2x y ln(x^2 y)(x^2 - y^2)^2

Passo 7

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, denotada por $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Aqui, tratamos $ x $ como constante e derivamos em relação a $ y $.

Passo 8

Novamente, aplicamos a regra do quociente. Agora, $ u(y) = y \ln(x^2 y) $ e $ v(y) = x^2 - y^2 $.

Passo 9

Derivando $ u(y) $ em relação a $ y $:
u(y)

Passo 10

Derivando $ v(y) $ em relação a $ y $:
v(y)

Passo 11

Aplicando a regra do quociente:
partial fpartial y = u'(y) v(y) - u(y) v'(y)v(y)^2 = (ln(x^2 y) + 1)(x^2 - y^2) - y ln(x^2 y)(-2y)(x^2 - y^2)^2
Simplificando:
partial fpartial y = (ln(x^2 y) + 1)(x^2 - y^2) + 2y^2 ln(x^2 y)(x^2 - y^2)^2

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y) = \frac{y \ln(x^2 y)}{x^2 - y^2} $ são:
f(x, y) = y ln(x^2 y)x^2 - y^2
e
partial fpartial x = 2(x^2 - y^2)/x - 2x y ln(x^2 y)(x^2 - y^2)^2

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