Calcule as derivadas parciais de
ordem da função
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Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo de derivadas parciais de primeira ordem. A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função $ f(x, y) = \frac{y \ln(x^2 y)}{x^2 - y^2} $ em relação a $ x $ e $ y $. Para isso, vamos usar as regras de derivação dessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que é denotada por $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Para isso, vamos tratar $ y $ como uma constante e derivar a função em relação a $ x $.
Passo 3
Vamos aplicar a regra do quociente, que diz que se temos uma função $ \frac{u(x)}{v(x)} $, sua derivada é $ \frac{u’(x)v(x) - u(x)v’(x)}{v(x)^2} $. Aqui, $ u(x) = y \ln(x^2 y) $ e $ v(x) = x^2 - y^2 $.
Passo 4
Primeiro, derivamos $ u(x) $ em relação a $ x $. Usando a regra da cadeia, temos:
Passo 5
Agora, derivamos $ v(x) $ em relação a $ x $:
Passo 6
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, denotada por $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Aqui, tratamos $ x $ como constante e derivamos em relação a $ y $.
Passo 8
Novamente, aplicamos a regra do quociente. Agora, $ u(y) = y \ln(x^2 y) $ e $ v(y) = x^2 - y^2 $.
Passo 9
Derivando $ u(y) $ em relação a $ y $:
Passo 10
Derivando $ v(y) $ em relação a $ y $:
Passo 11
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y) = \frac{y \ln(x^2 y)}{x^2 - y^2} $ são:
e