Encontre o domínio da função f(x, y)=x+yraiz2 y+4 x, e represente-o graficamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = \frac{x + y}{\sqrt{2y + 4x}} $ e precisa encontrar o domínio dessa função. Isso significa descobrir para quais valores de $ x $ e $ y $ a função está bem definida. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre raízes quadradas e frações.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da função, que é $ \sqrt{2y + 4x} $. Sabemos que a raiz quadrada só está definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Então, temos que:
raiz2y + 4x
Também, como a raiz quadrada está no denominador, ela não pode ser zero, porque não dá pra dividir por zero. Então, na verdade, a gente precisa que:
2y + 4x >= 0

Passo 3

Vamos simplificar essa desigualdade pra ficar mais fácil de entender. Dividindo todos os termos por 2:
y + 2x > 0
Isso quer dizer que, para a função estar definida, a soma de $ y $ com o dobro de $ x $ precisa ser maior que zero.

Passo 4

Então, o domínio da função é todo conjunto de pontos $ (x, y) $ que satisfazem a condição $ y + 2x > 0 $. Graficamente, isso representa a região acima da linha $ y = -2x $ no plano cartesiano.

Resposta

O domínio da função $ f(x, y) = \frac{x + y}{\sqrt{2y + 4x}} $ é o conjunto de todos os pares $ (x, y) $ tal que $ y + 2x > 0 $. Graficamente, isso corresponde à região acima da linha $ y = -2x $ no plano.

Exercícios relacionados