Encontre o domínio da função
, e represente-o graficamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = \frac{x + y}{\sqrt{2y + 4x}} $ e precisa encontrar o domínio dessa função. Isso significa descobrir para quais valores de $ x $ e $ y $ a função está bem definida. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre raízes quadradas e frações.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador da função, que é $ \sqrt{2y + 4x} $. Sabemos que a raiz quadrada só está definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Então, temos que:
Também, como a raiz quadrada está no denominador, ela não pode ser zero, porque não dá pra dividir por zero. Então, na verdade, a gente precisa que:
Passo 3
Vamos simplificar essa desigualdade pra ficar mais fácil de entender. Dividindo todos os termos por 2:
Isso quer dizer que, para a função estar definida, a soma de $ y $ com o dobro de $ x $ precisa ser maior que zero.
Passo 4
Então, o domínio da função é todo conjunto de pontos $ (x, y) $ que satisfazem a condição $ y + 2x > 0 $. Graficamente, isso representa a região acima da linha $ y = -2x $ no plano cartesiano.
Resposta
O domínio da função $ f(x, y) = \frac{x + y}{\sqrt{2y + 4x}} $ é o conjunto de todos os pares $ (x, y) $ tal que $ y + 2x > 0 $. Graficamente, isso corresponde à região acima da linha $ y = -2x $ no plano.