Calcule as derivadas parciais de 2^a ordem das funções:
f(x, y)=e^-x cdot sen y.

Passo 1

A função dada é f(x, y) = e^{-x} · sen y. O conteúdo é derivadas parciais de segunda ordem. Para resolver, precisamos calcular primeiro as derivadas parciais de primeira ordem e depois derivar novamente para obter as derivadas de segunda ordem.

Passo 2

Vamos achar as derivadas parciais de primeira ordem. Derivando em relação a x tratamos y como constante, e em relação a y tratamos x como constante.

Passo 3

Agora derivamos as parciais de primeira ordem para obter as de segunda ordem. Lembrando que f_{yx} = f_{xy} pela teorema de Schwarz.

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
f_{xx}(x,y) = e^{-x} \sin y
f_{xy}(x,y) = -e^{-x} \cos y
f_{yy}(x,y) = -e^{-x} \sin y
E f_{yx}(x,y) = f_{xy}(x,y) = -e^{-x} \cos y.

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