Fazendo sucessivamente as mudanças de variáveis
e
reescreva a integral abaixo.
Em seguida, use a definição da função gamma e a igualdade
para mostrar que
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
para
, fazendo as mudanças de variável
e depois
, além de usar a definição da função Gama e a igualdade
. Vamos aplicar conceitos de mudança de variável em integrais impróprias e definição da função Gama.
Passo 2
Com
, temos
,
e
. Quando
varia de
a
,
varia de
a
. A integral vira
Passo 3
Agora use
. Então
e
. Como
,
, e os limites vão de
→
até
→
. Substituindo,
Passo 4
Para avaliar
, faça
. Então quando
vai de
a
,
vai de
a
e
, logo
Mas por definição da função Gama,
Logo
.
Passo 5
Substituindo de volta,
Resposta
-\frac{1}{(k+1)^{2}}