Fazendo sucessivamente as mudanças de variáveis x=e^u e t=(1+k) u reescreva a integral abaixo.
integral0^1 x^k ln (x) d x
Em seguida, use a definição da função gamma e a igualdade Gamma(2)=1 para mostrar que
integral0^1 x^k ln (x) d x=-1(k+1)^2, para k>-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral0^1 x^kln(x),dx para k>-1, fazendo as mudanças de variável x=e^u e depois t=(1+k)u, além de usar a definição da função Gama e a igualdade Gamma(2)=1. Vamos aplicar conceitos de mudança de variável em integrais impróprias e definição da função Gama.

Passo 2

Com x=e^u, temos dx=e^udu, ln(x)=u e x^k=e^ku. Quando x varia de 0 a 1, u varia de -infty a 0. A integral vira
integral-infty^0u,e^ku,e^udu = integral-infty^0u,e^(k+1)udu

Passo 3

Agora use t=(1+k)u. Então u=t1+k e du=dt1+k. Como k>-1, 1+k>0, e os limites vão de u=-infty t=-infty até u=0 t=0. Substituindo,
integral-infty^0u,e^(k+1)udu =integral-infty^0t1+ke^tdt1+k =1(k+1)^2integral-infty^0t,e^tdt

Passo 4

Para avaliar integral-infty^0t,e^tdt, faça s=-t. Então quando t vai de -infty a 0, s vai de +infty a 0 e dt=-ds, logo
integral-infty^0t,e^tdt =-integralinfty^0(-s)e^-sds =-integral0^inftys,e^-sds
Mas por definição da função Gama,
Gamma(2)=integral0^inftys^2-1e^-sds=integral0^inftys,e^-sds=1
Logo integral-infty^0t,e^tdt=-1.

Passo 5

Substituindo de volta,
integral0^1x^kln(x)dx =1(k+1)^2l(-1r) =-1(k+1)^2(k>-1)

Resposta

-\frac{1}{(k+1)^{2}}

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