Resolva o Problema de Valor Inicial:
y^prime-y=2 x e^2 x, y(0)=1

Passo 1

Neste exercício de Valor Inicial queremos resolver a equação diferencial linear de 1ª ordem
y' - y = 2x e^2x com a condição y(0)=1. O conteúdo aqui é usar fator integrante para equações lineares de 1º ordem.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão y' + P(x)y = f(x). Aqui temos
P(x) = -1, f(x) = 2x e^2x

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral(-1),dx = e^-x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=e^-x e reconhecemos o lado esquerdo como derivada de produto:
(e^-xy)' = e^-xy' - e^-xy = 2x e^2xe^-x = 2x e^x
Agora integramos ambos os lados:
e^-xy = integral 2x e^x,dx + C = 2,(x-1)e^x + C
Isolando y obtemos a solução geral
y = e^xl[2(x-1)e^x + Cr] = 2(x-1)e^2x + C e^x

Passo 5

Aplicando a condição inicial y(0)=1 na solução geral:
y(0) = 2(0-1)e^0 + C e^0 = -2 + C = 1 implies C = 3

Passo 6

Substituindo C=3 na expressão geral, chegamos à solução específica do PVI.

Resposta

y(x) = 2(x-1)e^2x + 3e^x

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