Usando as propriedades algébricas dos números complexos e a definição da transformada de Laplace, mostre que
Em particular, para
devemos ter
Conclua, usando à fórmula de Euler
e a linearidade que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a transformada de Laplace de
usando a definição
, aproveitando propriedades de números complexos, e depois deduzir, via fórmula de Euler e linearidade, as fórmulas de
e
. Vamos precisar da integral imprópria de uma exponencial complexa e da racionalização de um denominador complexo.
Passo 2
Aplicando a definição de Laplace temos:
Passo 3
Como
, a integral converge e usamos a primitiva de
, obtendo
Passo 4
Para colocar em forma real+imaginária, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de
, ou seja
:
Passo 5
No caso particular
temos
. Pela fórmula de Euler
e pela linearidade:
Passo 6
Igualando as partes real e imaginária, concluímos os resultados desejados.