Usando as propriedades algébricas dos números complexos e a definição da transformada de Laplace, mostre que
L(e^(a+i b) t)=s-a+b i(s-a)^2+b^2 s>a
Em particular, para a=0 devemos ter
L(cos (b t)+i sen(b t)) & =L(e^b t i)=s+b is^2+b^2 & =ss^2+b^2+i bs^2+b^2 s>a
Conclua, usando à fórmula de Euler (e^i theta=cos (theta)+i sen theta) e a linearidade que
L(cos (b t))=ss^2+b^2 e L(sen(b t))=bs^2+b^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a transformada de Laplace de e^(a+i b)t usando a definição Lf(t)=integral0^inftye^-stf(t),dt, aproveitando propriedades de números complexos, e depois deduzir, via fórmula de Euler e linearidade, as fórmulas de L(cos bt) e L(sen bt). Vamos precisar da integral imprópria de uma exponencial complexa e da racionalização de um denominador complexo.

Passo 2

Aplicando a definição de Laplace temos:
Ll(e^(a+i b)tr)=integral0^inftye^-st,e^(a+i b)t,dt=integral0^inftye^-[s-(a+i b)]t,dt

Passo 3

Como Re(s-(a+i b))=s-a>0, a integral converge e usamos a primitiva de e^-pt, obtendo
integral0^inftye^-[s-(a+i b)]t,dt=[e^-[s-(a+i b)]t-[s-(a+i b)]]0^infty=1s-(a+i b)

Passo 4

Para colocar em forma real+imaginária, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de s-(a+i b), ou seja s-(a-i b):
1s-a-i bcdots-a+i bs-a+i b=s-a+i b(s-a)^2+b^2

Passo 5

No caso particular a=0 temos L(e^i b t)=(s+i b)/(s^2+b^2). Pela fórmula de Euler e^i b t=cos bt+i,sen bt e pela linearidade:
L(cos bt)+i,L(sen bt)=ss^2+b^2+ibs^2+b^2

Passo 6

Igualando as partes real e imaginária, concluímos os resultados desejados.

Resposta

L(cos bt)=ss^2+b^2 e L(sen bt)=bs^2+b^2.

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