1. Calcule as derivadas parciais de 1 ordem
y) J(x, y, z)=x \operatorname{sen} y z+y
z) f(x, y, z)=x^{2} y z-x z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem das duas funções dadas. Informação fornecida:
  • Para a letra y): J(x,y,z)=x\,\operatorname{sen}(yz)+y.
  • Para a letra z): f(x,y,z)=x^{2}yz-xz.
O que é pedido exatamente:
  • Calcular \dfrac{\partial J}{\partial x}, \dfrac{\partial J}{\partial y} e \dfrac{\partial J}{\partial z}.
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} e \dfrac{\partial f}{\partial z}.

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicados passo a passo e sem pular etapas):
  • Definição de derivada parcial: a derivada parcial de g(x,y,z) em relação a x, denotada \dfrac{\partial g}{\partial x}, é a derivada da função considerando y e z constantes. Ou seja, variar só x e derivar como se fosse uma função de uma variável.
  • Regras de diferenciação que serão úteis:
    1. Regra do produto (quando temos um produto de duas funções que dependem da variável de diferenciação): se u(x) e v(x) são funções de x, então \dfrac{d}{dx}[u(x)v(x)]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
    2. Regra da cadeia: se temos \sin(u(x)), então \dfrac{d}{dx}\sin(u(x))=\cos(u(x))\cdot u'(x).
    3. Derivadas básicas: \dfrac{d}{dx}x=1, \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x, \dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).
  • No caso de derivada parcial, ao aplicar essas regras, tratam-se as outras variáveis como constantes (por exemplo, ao derivar em relação a x, y e z são constantes).
Exemplo rápido e intuitivo (mini-aula): se tiver \dfrac{\partial}{\partial x}\big(x\cdot \sin(yz)\big), como \sin(yz) não depende de x (porque y,z são tratados como constantes), é como derivar x\cdot C onde C=\sin(yz) é constante; então a derivada é 1\cdot C=\sin(yz). Se a função interna depende da variável (por exemplo \sin(xy) e eu derivar em x), aí uso a cadeia: derivada é \cos(xy)\cdot y.

Passo 3

Derivadas parciais de J(x,y,z)=x\,\operatorname{sen}(yz)+y: começar por \dfrac{\partial J}{\partial x}.
  • Ao derivar em relação a x, tratamos y e z como constantes.
  • O termo x\,\operatorname{sen}(yz) é produto entre x e \operatorname{sen}(yz), mas \operatorname{sen}(yz) é uma constante relativa a x. Então
\frac{\partial}{\partial x}\big(x\,\operatorname{sen}(yz)\big)=1\cdot\operatorname{sen}(yz)=\operatorname{sen}(yz).
  • O termo +y não depende de x, logo sua derivada parcial em relação a x é 0.
  • Conclusão:
\frac{\partial J}{\partial x}(x,y,z)=\operatorname{sen}(yz).

Passo 4

Agora \dfrac{\partial J}{\partial y}.
  • Ao derivar em relação a y, tratamos x e z como constantes.
  • O termo x\,\operatorname{sen}(yz): aqui x é constante multiplicando \operatorname{sen}(yz), que depende de y via o argumento yz. Aplicamos a regra da cadeia:
    • Se u(y)=yz, então \dfrac{du}{dy}=z.
    • \dfrac{d}{dy}\operatorname{sen}(u)=\cos(u)\cdot u'.
    • Portanto
\frac{\partial}{\partial y}\big(x\,\operatorname{sen}(yz)\big)=x\cdot\cos(yz)\cdot z = xz\cos(yz).
  • O termo +y tem derivada parcial 1 em relação a y.
  • Somando as contribuições:
\frac{\partial J}{\partial y}(x,y,z)=xz\cos(yz)+1.

Passo 5

Agora \dfrac{\partial J}{\partial z}.
  • Ao derivar em relação a z, tratamos x e y como constantes.
  • O termo x\,\operatorname{sen}(yz): x é constante; o argumento da função seno é u(z)=yz, com \dfrac{du}{dz}=y. Aplicando a cadeia:
\frac{\partial}{\partial z}\big(x\,\operatorname{sen}(yz)\big)=x\cdot\cos(yz)\cdot y = xy\cos(yz).
  • O termo +y não depende de z, então contribui com 0.
  • Resultado final:
\frac{\partial J}{\partial z}(x,y,z)=xy\cos(yz).

Passo 6

Agora passamos para f(x,y,z)=x^{2}yz-xz. Começamos por \dfrac{\partial f}{\partial x}.
  • Ao derivar em relação a x, y e z são constantes.
  • Primeiro termo: x^{2}yz. Como y e z são constantes, x^{2}yz é igual a (yz)\cdot x^{2}. A derivada de x^{2} é 2x, logo
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}yz\big)=2x\cdot y z = 2xyz.
  • Segundo termo: -xz. Aqui z é constante, derivada de -x é -1, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(-xz\big)=-z.
  • Somando:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=2xyz - z.
  • Opcional: fatorar z para simplificar: \dfrac{\partial f}{\partial x}=z(2xy-1).

Passo 7

Agora \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Ao derivar em relação a y, x e z são constantes.
  • Primeiro termo x^{2}yz: como x^{2}z é constante multiplicando y, a derivada é x^{2}z.
\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}yz\big)=x^{2}z.
  • Segundo termo -xz não depende de y, então sua derivada é 0.
  • Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=x^{2}z.

Passo 8

Finalmente \dfrac{\partial f}{\partial z}.
  • Ao derivar em relação a z, x e y são constantes.
  • Primeiro termo x^{2}yz: como x^{2}y é constante multiplicando z, a derivada é x^{2}y.
\frac{\partial}{\partial z}\big(x^{2}yz\big)=x^{2}y.
  • Segundo termo -xz: derivada em relação a z é -x (porque -x é constante vezes z, derivada de z é 1).
\frac{\partial}{\partial z}\big(-xz\big)=-x.
  • Somando:
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=x^{2}y - x.
  • Opcional: fatorar x: \dfrac{\partial f}{\partial z}=x(xy-1).

Passo 9

Dicas rápidas para a prova (resumidas e práticas):
  • Identifique qual variável está sendo diferenciada e trate todas as outras como constantes.
  • Procure fatorar termos antes de derivar quando isso simplifica (por exemplo ver x^{2}yz=(yz)x^{2}).
  • Use a regra da cadeia sempre que aparecer uma função composta (por exemplo \operatorname{sen}(yz) quando derivar em y ou z).
  • Verifique as dimensões das parcelas: se um termo não contém a variável em que se diferencia, sua derivada parcial será zero — economiza tempo.

Resposta

y) \displaystyle \frac{\partial J}{\partial x}(x,y,z)=\operatorname{sen}(yz), \displaystyle \frac{\partial J}{\partial y}(x,y,z)=xz\cos(yz)+1, \displaystyle \frac{\partial J}{\partial z}(x,y,z)=xy\cos(yz)
z) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=2xyz - z, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=x^{2}z, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=x^{2}y - x

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