- Calcule as derivadas parciais de 1 ordem
y)
z)
.
z)
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem das duas funções dadas. Informação fornecida:
- Para a letra y):
. - Para a letra z):
.
O que é pedido exatamente:
- Calcular
, e . - Calcular
, e .
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicados passo a passo e sem pular etapas):
- Definição de derivada parcial: a derivada parcial de
em relação a , denotada , é a derivada da função considerando e constantes. Ou seja, variar só e derivar como se fosse uma função de uma variável. - Regras de diferenciação que serão úteis:
- Regra do produto (quando temos um produto de duas funções que dependem da variável de diferenciação): se
e são funções de , então . - Regra da cadeia: se temos
, então . - Derivadas básicas:
, , .
- Regra do produto (quando temos um produto de duas funções que dependem da variável de diferenciação): se
- No caso de derivada parcial, ao aplicar essas regras, tratam-se as outras variáveis como constantes (por exemplo, ao derivar em relação a
, e são constantes).
Exemplo rápido e intuitivo (mini-aula): se tiver
, como
não depende de
(porque
são tratados como constantes), é como derivar
onde
é constante; então a derivada é
. Se a função interna depende da variável (por exemplo
e eu derivar em
), aí uso a cadeia: derivada é
.
Passo 3
Derivadas parciais de
: começar por
.
- Ao derivar em relação a
, tratamos e como constantes. - O termo
é produto entre e , mas é uma constante relativa a . Então
- O termo
não depende de , logo sua derivada parcial em relação a é . - Conclusão:
Passo 4
Agora
.
- Ao derivar em relação a
, tratamos e como constantes. - O termo
: aqui é constante multiplicando , que depende de via o argumento . Aplicamos a regra da cadeia: - Se
, então . -
. - Portanto
- Se
- O termo
tem derivada parcial em relação a . - Somando as contribuições:
Passo 5
Agora
.
- Ao derivar em relação a
, tratamos e como constantes. - O termo
: é constante; o argumento da função seno é , com . Aplicando a cadeia:
- O termo
não depende de , então contribui com . - Resultado final:
Passo 6
Agora passamos para
. Começamos por
.
- Ao derivar em relação a
, e são constantes. - Primeiro termo:
. Como e são constantes, é igual a . A derivada de é , logo
- Segundo termo:
. Aqui é constante, derivada de é , então
- Somando:
- Opcional: fatorar
para simplificar: .
Passo 7
Agora
.
- Ao derivar em relação a
, e são constantes. - Primeiro termo
: como é constante multiplicando , a derivada é .
- Segundo termo
não depende de , então sua derivada é . - Portanto
Passo 8
Finalmente
.
- Ao derivar em relação a
, e são constantes. - Primeiro termo
: como é constante multiplicando , a derivada é .
- Segundo termo
: derivada em relação a é (porque é constante vezes , derivada de é ).
- Somando:
- Opcional: fatorar
: .
Passo 9
Dicas rápidas para a prova (resumidas e práticas):
- Identifique qual variável está sendo diferenciada e trate todas as outras como constantes.
- Procure fatorar termos antes de derivar quando isso simplifica (por exemplo ver
). - Use a regra da cadeia sempre que aparecer uma função composta (por exemplo
quando derivar em ou ). - Verifique as dimensões das parcelas: se um termo não contém a variável em que se diferencia, sua derivada parcial será zero — economiza tempo.
Resposta
y)
,
,
z)
,
,