Use qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Se algum teste que você escolher der inconclusivo, busque outro teste que funcione para a série:
sumn=1^infty (n+4)!4!n!4^n

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty (n+4)!4!,n!,4^n
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo principal é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da razão para decidir.

Passo 2

Definimos o termo geral
an = (n+4)!4!,n!,4^n
Note que
(n+4)! = (n+4)(n+3)(n+2)(n+1),n!
e também 4! = 24, portanto
an = (n+4)(n+3)(n+2)(n+1)24cdot4^n

Passo 3

Aplicamos o teste da razão, calculando
an+1an = (n+5)!4!,(n+1)!,4^,n+1 (n+4)!4!,n!,4^n = (n+5)(n+4)(n+3)(n+2)24cdot4^,n+1 cdot 24cdot4^n(n+4)(n+3)(n+2)(n+1) = n+54,(n+1)

Passo 4

Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
L = limntoinftyan+1an = limntoinftyn+54,(n+1) = 14
Como L=tfrac14<1, o teste da razão conclui que a série converge absolutamente.

Passo 5

Uma vez que há convergência absoluta, a série também converge.

Resposta

A série converge.

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