6.1. Resolva a equação diferencial dada em série de potências de
(em torno de
). Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a soluçăo. Dê um intervalo onde a solução é válida
(c)
.
(i)
.
(i)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados (não vou resolver ainda).
- Tem duas equações diferenciais, ambas pedidas para desenvolver em série de potências em torno de
, escrever uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução e dar um intervalo onde a solução é válida. - (c)
, com condições iniciais . - (i)
(sem condições iniciais, logo a solução geral deve ter duas constantes arbitrárias).
Objetivo para cada item:
- Encontrar a solução como soma de séries de potências centrais em
. - Fornecer uma fórmula fechada (expressão para o termo geral dos coeficientes das séries).
- Indicar um intervalo onde a expansão em série é válida.
Passo 2
Método padrão (lembrando a ideia): assumir uma solução da forma
calcular
e
, substituir na EDO e igualar coeficientes de potências de
para obter uma relação de recorrência entre os
. Essa recorrência determina os coeficientes em função de
e
(as duas constantes livres). Vou aplicar esse método, mas quando houver uma maneira mais direta (por ex. reconhecer uma solução simples), uso-a e explico por quê.
Vou começar pelo item (c).
Passo 3
Item (c): aplicar a série de potências.
Assuma
Substituindo em
:
Fazendo as mudanças de índice para pôr tudo em potências
(com
ou
conforme conveniente) obtemos a igualdade de séries
Igualando coeficientes para
e para
com
obtemos:
- Para
:
- Para
:
Isolando
:
Isso é uma recorrência de segunda ordem que, em princípio, determina todos os coeficientes a partir de
e
.
Passo 4
Reconhecimento de soluções simples (truque útil e que poupa trabalho):
- Experimente funções simples: testar
. Para temos . Substituindo:
portanto
é uma solução. Ótimo — já temos uma solução “simples” da EDO.
- Tentar
também é uma boa tentativa quando aparecem termos com e constantes: para temos . Substituindo:
logo
também é solução.
As duas soluções
e
são linearmente independentes (o determinante de Wronskiano em
é diferente de zero), logo a solução geral da EDO é
Observação sobre consistência com a série: a série de potências encontrada pela recorrência deve gerar exatamente os coeficientes da combinação linear acima; portanto a abordagem por séries e o reconhecimento direto concordam.
Passo 5
Aplicar condições iniciais (item (c)):
Temos
e
.
Calcule
. Assim
.
Calcule
. Em
:
.
Com obtemos
.
Com
Logo a solução particular é
Passo 6
Escrever a solução como série de potências e dar a fórmula fechada para os coeficientes (item (c)):
Sabendo que
, temos
Portanto, escrevendo
, os coeficientes são
e para
(Isto é uma fórmula fechada para o termo geral dos coeficientes da série que representa a solução.)
Passo 7
Intervalo de validade (item (c)):
- Os coeficientes da EDO
, e são analíticos em todo ponto com (o coeficiente divisor tem singularidade em ). Pelo teorema de existência de séries de potências, a solução em série centrada em tem, no mínimo, raio de convergência até a singularidade mais próxima dos coeficientes, que é . Assim a expansão em série obtida pela EDO converge ao menos para , ou seja no intervalo . - Observação prática: a série de
converge para todo (é inteira), então a expressão fechada é válida em . Mas, pedindo-se o intervalo garantido pela construção pela EDO, tome . (Para a prova normalmente espera-se o intervalo .)
Agora passo ao item (i).
Passo 8
Item (i): aplicar o método da série.
Assuma
Substituindo em
:
Colocando tudo como potência
(com
na primeira soma) obtemos
Somando os termos que envolvem
:
Logo a recorrência é, para todo
,
ou isolando
Isto acopla
com
: as duas sequências (índices pares e ímpares) são independentes e cada uma é determinada por
ou
.
Passo 9
Obter fórmula fechada para os termos pares
(em função de
):
Coloque
na recorrência (com
):
Iterando essa fórmula
vezes (produto telescópico) obtemos
Essa expressão pode ser simplificada em termos de fatoriais. Depois de manipular produtos de fatores pares e ímpares chega-se à forma (fácil de verificar por indução ou comparando com os primeiros termos):
Verificação rápida para
:
e
, que coincide com a recorrência.
Passo 10
Obter fórmula fechada para os termos ímpares
(em função de
):
Coloque
na recorrência:
Iterando e simplificando obtemos (novamente manipulação com produtos e fatoriais):
Teste rápido:
. Para
, que coincide com a recorrência direta.
Passo 11
Escrever a solução geral (item (i)):
Separando pares e ímpares,
com as fórmulas fechadas obtidas:
Aqui
e
são as duas constantes arbitrárias que representam a solução geral.
Passo 12
Intervalo de validade (item (i)):
Os coeficientes da EDO
são funções polinomiais inteiras (analíticas em todo
), logo a expansão em série de potências centrada em
converge para todo
. Assim o raio de convergência é infinito e a solução em série é válida para todo
.
Resposta
(c)
válida (pelo método pela EDO) em
.
(i) com
válidos para todo
.
(i)