Calcule as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y das funções a seguir:
f(x, y)=e^x^2-y^2 sin (x y)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y) = e^x^2-y^2;sin(xy)
O conteúdo aqui é a aplicação da regra do produto e da regra da cadeia em funções de duas variáveis.

Passo 2

Para partial fpartial x, note que f(x,y) é produto de
u(x,y) = e^x^2-y^2 e v(x,y) = sin(xy)
Usando a regra do produto,
partial fpartial x = partial upartial x,v + u,partial vpartial x
Agora,
partial upartial x = partialpartial xe^x^2-y^2 = 2x,e^x^2-y^2,
partial vpartial x = partialpartial xsin(xy) = y,cos(xy)
Substituindo,
partial fpartial x = l(2x,e^x^2-y^2r)sin(xy) + e^x^2-y^2l(y,cos(xy)r),
e fatorando e^x^2-y^2,
partial fpartial x = e^x^2-y^2l(2x,sin(xy) + y,cos(xy)r)

Passo 3

Para partial fpartial y, usamos de novo a regra do produto:
partial fpartial y = partial upartial y,v + u,partial vpartial y
Calculamos
partial upartial y = partialpartial ye^x^2-y^2 = -2y,e^x^2-y^2,
partial vpartial y = partialpartial ysin(xy) = x,cos(xy)
Logo,
partial fpartial y = l(-2y,e^x^2-y^2r)sin(xy) + e^x^2-y^2l(x,cos(xy)r),
e, fatorando e^x^2-y^2,
partial fpartial y = e^x^2-y^2l(x,cos(xy) - 2y,sin(xy)r)

Resposta

partial fpartial x = e^x^2-y^2l(2x,sin(xy) + y,cos(xy)r),
partial fpartial y = e^x^2-y^2l(x,cos(xy) - 2y,sin(xy)r)

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