Exemplo: Resolva a EDO
y^prime prime+3 y^prime+2 y=4 x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 3y' + 2y = 4x^2
O conteúdo aqui é encontrar a solução geral como soma da solução homogênea e de uma particular. Para isso vamos usar:
  1. Equação característica para a parte homogênea.
  2. Método dos coeficientes indeterminados para a parte particular.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea
y'' + 3y' + 2y = 0
A equação característica é
r^2 + 3r + 2 = 0,
cuja fatoração dá
(r+1)(r+2)=0,
logo as raízes são r=-1 e r=-2. Portanto a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp(x) para
y'' + 3y' + 2y = 4x^2
Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 2, supomos
yp(x) = Ax^2 + Bx + C
Calculamos as derivadas:
yp' = 2A x + B, yp'' = 2A
Substituindo em y''+3y'+2y:
2A + 3(2Ax + B) + 2(Ax^2 + Bx + C) = 4x^2
Organizando os termos em potências de x:
2A + 6A x + 3B + 2A x^2 + 2B x + 2C = 4x^2
Igualando coeficientes:
para x^2:
2A = 4 implies A = 2;
para x:
6A + 2B = 0 implies 12 + 2B = 0 implies B = -6;
constantes:
2A + 3B + 2C = 0 implies 4 - 18 + 2C = 0 implies 2C = 14 implies C = 7
Logo
yp(x) = 2x^2 - 6x + 7

Passo 4

A solução geral da equação original é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x + 2x^2 - 6x + 7

Resposta

y(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x + 2x^2 - 6x + 7

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