Calcule:
lim x +infty(x^2+1x^2-3)^x^2

Passo 1

O enunciado quer calcular
limxto+infty(x^2+1x^2-3)^x^2
Aqui a base tende a 1 e o expoente a +infty, caracterizando a forma indeterminada 1^infty. Para resolver, vamos usar o truque de tomar logaritmo natural e depois voltar com exponencial.

Passo 2

Defina
y = (x^2+1x^2-3)^x^2
Então
ln y = x^2l[ln(x^2+1)-ln(x^2-3)r]
Usando a identidade
ln(x^2pm a) = 2ln x + lnl(1pm a/x^2r),
temos
ln y = x^2l[ln(1+1/x^2) - ln(1-3/x^2)r]

Passo 3

Para xto+infty, o argumento de ln tende a 1 e podemos usar a expansão
ln(1+u) = u + o(u)quando uto0
Aqui u1=1/x^2 e u2=-3/x^2, logo
ln(1+1/x^2) = 1x^2 + ol(1/x^2r), ln(1-3/x^2) = -3x^2 + ol(1/x^2r)
Substituindo em ln y,
ln y = x^2l(1x^2 + 3x^2 + o(1/x^2)r) =4 + o(1),
ou seja, ln yto4.

Passo 4

Como ln yto4, decorre que yto e^4. Portanto
limxto+infty(x^2+1x^2-3)^x^2 = e^4

Resposta

e^4

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