Calcule:
lim x +infty(x-4x-1)^x+3

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto+inftyl(x-4x-1r)^x+3
Esse é um caso de forma indeterminada 1^infty, então vamos usar logaritmo natural e a expansão ln(1+u)approx u para uto0.

Passo 2

Reescrevemos a base como
x-4x-1 = 1 - 3x-1
Assim a expressão fica
l(1 - tfrac3x-1r)^x+3

Passo 3

Definimos
L = limxto+inftyl(1 - tfrac3x-1r)^x+3
e estudamos
ln L = limxto+infty(x+3),lnl(1 - tfrac3x-1r)

Passo 4

Para uto0 vale
ln(1+u)=u - tfracu^22+o(u^2)
Aqui u=-tfrac3x-1, logo
lnl(1 - tfrac3x-1r) = -tfrac3x-1 + Ol(tfrac1(x-1)^2r)
Multiplicando por x+3 obtemos
(x+3)lnl(1 - tfrac3x-1r) = (x+3)l(-tfrac3x-1r) + (x+3),Ol(tfrac1(x-1)^2r)

Passo 5

Calculamos o primeiro termo:
(x+3)l(-tfrac3x-1r) = -3,x+3x-1 = -3l(1+tfrac4x-1r) ;xrightarrow[xtoinfty];-3
O outro termo é O(1/(x-1))to0. Portanto
ln L = -3

Passo 6

Voltando de ln L para L, concluímos
L = e^-3

Resposta

e^-3

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