Calcule as derivadas parciais partial wpartial t e partial wpartial u.
(w(x, y)=x{2}+y{2}
x=t^2-u^2
y=2 t u.

Passo 1

A questão pede para calcular as derivadas parciais ∂w/∂t e ∂w/∂u de w(x,y)=x²+y², onde x e y dependem de t e u: x=t²−u² e y=2tu. Vamos usar o conteúdo de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, primeiro identificamos as derivadas parciais de w em relação às variáveis intermediárias x e y:
$$
\frac{\partial w}{\partial x}=2x, \qquad \frac{\partial w}{\partial y}=2y. $$

Passo 3

Em seguida, calculamos as derivadas de x e y em relação a t e u:
$$
\frac{\partial x}{\partial t}=2t, \quad \frac{\partial x}{\partial u}=-2u, $$
$$
\frac{\partial y}{\partial t}=2u, \quad \frac{\partial y}{\partial u}=2t. $$

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para cada derivada buscada. Por exemplo,
$$
\frac{\partial w}{\partial t}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}. partial wpartial t=partial wpartial xpartial xpartial t+partial wpartial ypartial ypartial t
\frac{\partial w}{\partial t}=2x\cdot(2t)+2y\cdot(2u)=4tx+4uy. partial wpartial t=2xcdot(2t)+2ycdot(2u)=4tx+4uy
\frac{\partial w}{\partial u}=\frac{\partial w}{\partial x}(-2u)+\frac{\partial w}{\partial y}(2t)=2x(-2u)+2y(2t)=-4ux+4yt. $$

Passo 5

Por fim, substituímos x=t²−u² e y=2tu e simplificamos ambas expressões:
$$
\frac{\partial w}{\partial t}=4t(t2-u2)+4u(2tu)=4t3+4tu2=4t(t2+u2), $$
$$
\frac{\partial w}{\partial u}=-4u(t2-u2)+4t(2tu)=4u3+4ut2=4u(t2+u2). $$

Resposta

partial wpartial t=4t(t^2+u^2), partial wpartial u=4u(t^2+u^2).

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