Calcule as derivadas parciais
e
.
(w(x, y)=x{2}+y{2}
.
(w(x, y)=x{2}+y{2}
Passo 1
A questão pede para calcular as derivadas parciais ∂w/∂t e ∂w/∂u de w(x,y)=x²+y², onde x e y dependem de t e u: x=t²−u² e y=2tu. Vamos usar o conteúdo de derivadas parciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Para aplicar a regra da cadeia, primeiro identificamos as derivadas parciais de w em relação às variáveis intermediárias x e y:
$$
\frac{\partial w}{\partial x}=2x, \qquad \frac{\partial w}{\partial y}=2y. $$
Passo 3
Em seguida, calculamos as derivadas de x e y em relação a t e u:
$$
\frac{\partial x}{\partial t}=2t, \quad \frac{\partial x}{\partial u}=-2u, $$
$$
\frac{\partial y}{\partial t}=2u, \quad \frac{\partial y}{\partial u}=2t. $$
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia para cada derivada buscada. Por exemplo,
$$
\frac{\partial w}{\partial t}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}.
\frac{\partial w}{\partial t}=2x\cdot(2t)+2y\cdot(2u)=4tx+4uy.
\frac{\partial w}{\partial u}=\frac{\partial w}{\partial x}(-2u)+\frac{\partial w}{\partial y}(2t)=2x(-2u)+2y(2t)=-4ux+4yt. $$
Passo 5
Por fim, substituímos x=t²−u² e y=2tu e simplificamos ambas expressões:
$$
\frac{\partial w}{\partial t}=4t(t2-u2)+4u(2tu)=4t3+4tu2=4t(t2+u2), $$
$$
\frac{\partial w}{\partial u}=-4u(t2-u2)+4t(2tu)=4u3+4ut2=4u(t2+u2). $$