Calcule as derivadas parciais partial zpartial x, partial zpartial y, partial^2 zpartial x^2, partial^2 zpartial y^2, e partial^2 zpartial y partial x.
z=exp (xy)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de z(x,y)=exp!l(tfracxyr).
Conteúdo: regra da cadeia para funções compostas e, quando aparecer produto de funções de y, também a regra do produto.

Passo 2

Calcular partial zpartial x.
Defina u=tfracxy, então z=e^u e partial u/partial x=1/y. Pela regra da cadeia,
partial zpartial x =partial zpartial u,partial upartial x =e^ucdot1y =1y,e^x/y

Passo 3

Calcular partial zpartial y.
Ainda com u=tfracxy, temos partial u/partial y=-,x/y^2. Logo,
partial zpartial y =partial zpartial u,partial upartial y =e^ucdotl(-tfracxy^2r) =-xy^2,e^x/y

Passo 4

Calcular partial^2zpartial x^2.
Derive partial z/partial x=(1/y)e^x/y em relação a x. Como 1/y é constante,
partial^2zpartial x^2 =1y,partialpartial xl(e^x/yr) =1ycdot1y,e^x/y =1y^2,e^x/y

Passo 5

Calcular partial^2zpartial y^2.
Partindo de partial z/partial y = -tfracxy^2,e^x/y, use regra do produto:
u(y)=-xy^2, v(y)=e^x/y
Então
u'(y)=2x,y^-3, v'(y)=e^x/ycdotl(-xy^2r),
e
partial^2zpartial y^2 =u',v + u,v' =l(2xy^3+x^2y^4r),e^x/y

Passo 6

Calcular partial^2zpartial ypartial x.
Parta de partial z/partial x=(1/y)e^x/y e derive em y. Novamente produto:
u(y)=1y, v(y)=e^x/y,
u'(y)=-1y^2, v'(y)=-xy^2,e^x/y
Logo
partial^2zpartial ypartial x =u',v+u,v' =-1y^2,e^x/y -xy^3,e^x/y =-x+yy^3,e^x/y

Resposta

partial zpartial x =1y,e^x/y, partial zpartial y =-xy^2,e^x/y,
partial^2 zpartial x^2 =1y^2,e^x/y, partial^2 zpartial y^2 =l(2xy^3+x^2y^4r),e^x/y,
partial^2 zpartial ypartial x =-x+yy^3,e^x/y

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