Calcule as seguintes integrais:
(A) (10 pontos)
\int \operatorname{sen}^{3} x d x \ \int x \cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de duas integrais indefinidas:
integral sin^3 x,dx
e
integral xcos x,dx.
O conteúdo envolve técnicas de integração por substituição (para a parte trigonométrica) e integração por partes.

Passo 2

Para integral sin^3 x,dx reescrevemos o integrando usando a identidade trigonométrica
sin^3 x = sin x,(1-cos^2 x)
e fazemos a substituição
u = cos x, du = -sin x,dx
A integral fica
integral sin^3 x,dx = integral sin x,(1-cos^2 x),dx = integral (1-u^2),(-du) = integral (u^2 - 1),du
Integramos em u:
integral (u^2 - 1),du = u^33 - u + C1
Voltando a x:
integral sin^3 x,dx = cos^3 x3 - cos x + C1

Passo 3

Para integral xcos x,dx aplicamos a fórmula de integração por partes
integral u,dv = u,v - integral v,du,
escolhendo
u = x, dv = cos x,dx Longrightarrow du = dx, v = sin x
Assim
integral xcos x,dx = xsin x - integral sin x,dx = xsin x + cos x + C2

Resposta

integral sin^3 x,dx = cos^3 x3 - cos x + C1
integral xcos x,dx = xsin x + cos x + C2

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