Calcule os limites seguintes.
lim x infty raiz4 x^2+1-2 x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limx to infty l(raiz4x^2+1-2xr)
O conteúdo envolvido é o estudo de limites no infinito com forma indeterminada infty-infty. Para resolver, vamos usar a técnica de multiplicar pela conjugada.

Passo 2

Observamos que, quando xtoinfty, ambos raiz4x^2+1 e 2x crescem sem limite, levando a uma indeterminação do tipo infty-infty. A conjugada de raiz4x^2+1-2x é raiz4x^2+1+2x, e multiplicando numerador e denominador por ela, eliminamos a raiz.

Passo 3

Multiplicando por raiz4x^2+1+2xraiz4x^2+1+2x, temos
raiz4x^2+1-2x = l(raiz4x^2+1-2xr)l(raiz4x^2+1+2xr)raiz4x^2+1+2x = 4x^2+1 - 4x^2raiz4x^2+1+2x = 1raiz4x^2+1+2x

Passo 4

No denominador, fatoramos x dentro da raiz e em 2x:
raiz4x^2+1+2x = xraiz4 + 1x^2 + 2x = xl(raiz4 + tfrac1x^2 + 2r)
Logo,
raiz4x^2+1-2x = 1xl(raiz4 + tfrac1x^2 + 2r) = 1xcdot1raiz4 + tfrac1x^2 + 2

Passo 5

Ao fazermos xtoinfty, temos raiz4 + tfrac1x^2to 2, logo
1raiz4 + tfrac1x^2 + 2to 12+2 = 14,
e como ainda há o fator tfrac1x, o produto tende a 0.

Resposta

0

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