Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de cada função:
f(x, y)=(4 x y-3 y^3)^5+5 x^2 y

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem aqui um exercício de cálculo de derivadas parciais de primeira ordem. O que isso significa? Basicamente, a gente vai descobrir como a função muda em relação a cada uma das variáveis, mantendo a outra constante. No nosso caso, a função é . Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação como a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partialpartial x (4xy - 3y^3)^5 = 5(4xy - 3y^3)^4 cdot partialpartial x(4xy - 3y^3) em relação a partialpartial x(4xy - 3y^3) = 4y , ou seja, 5(4xy - 3y^3)^4 cdot 4y = 20y(4xy - 3y^3)^4 .
A função partialpartial x(5x^2y) = 5 cdot 2x cdot y = 10xy tem duas partes:
  1. partial fpartial x = 20y(4xy - 3y^3)^4 + 10xy
Vamos derivar cada parte separadamente em relação a .
Para a primeira parte, usamos a regra da cadeia. Se temos uma função composta como , a derivada é , onde .
Então:
Agora, derivamos em relação a :
Então, a derivada da primeira parte fica:
Para a segunda parte, , usamos a regra do produto. Considerando constante em relação a :
Agora, somamos as duas derivadas:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partialpartial y (4xy - 3y^3)^5 = 5(4xy - 3y^3)^4 cdot partialpartial y(4xy - 3y^3) em relação a partialpartial y(4xy - 3y^3) = 4x - 9y^2 , ou seja, 5(4xy - 3y^3)^4 cdot (4x - 9y^2) = 5(4x - 9y^2)(4xy - 3y^3)^4 .
Novamente, a função partialpartial y(5x^2y) = 5x^2 tem duas partes:
  1. partial fpartial y = 5(4x - 9y^2)(4xy - 3y^3)^4 + 5x^2
Vamos derivar cada parte separadamente em relação a .
Para a primeira parte, usamos a regra da cadeia, assim como fizemos antes:
Agora, derivamos em relação a :
Então, a derivada da primeira parte fica:
Para a segunda parte, , derivamos em relação a :
Agora, somamos as duas derivadas:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
partial fpartial x = 20y(4xy - 3y^3)^4 + 10xy
e
partial fpartial y = 5(4x - 9y^2)(4xy - 3y^3)^4 + 5x^2

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