Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de cada função:
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem aqui um exercício de cálculo de derivadas parciais de primeira ordem. O que isso significa? Basicamente, a gente vai descobrir como a função muda em relação a cada uma das variáveis, mantendo a outra constante. No nosso caso, a função é
. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação como a regra da cadeia e a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
tem duas partes:
Vamos derivar cada parte separadamente em relação a
.
Para a primeira parte, usamos a regra da cadeia. Se temos uma função composta como
, a derivada é
, onde
.
Então:
Agora, derivamos
em relação a
:
Então, a derivada da primeira parte fica:
Para a segunda parte,
, usamos a regra do produto. Considerando
constante em relação a
:
Agora, somamos as duas derivadas:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, a função
tem duas partes:
Vamos derivar cada parte separadamente em relação a
.
Para a primeira parte, usamos a regra da cadeia, assim como fizemos antes:
Agora, derivamos
em relação a
:
Então, a derivada da primeira parte fica:
Para a segunda parte,
, derivamos em relação a
:
Agora, somamos as duas derivadas:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e