Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas
a) lim x -2(3 x^4+2 x^2-x+1)
b) lim t -2 t^4-22 t^2-3 t+2;
c) lim t 8(1+raiz[3]x)(2-6 x^2+x^3);
d) lim x 2 raiz2 x^2+13 x-2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatro limites aplicando as propriedades de limites (soma, produto, quociente e continuidade de raízes e polinômios). Vamos usar que polinômios e raízes de índice ímpar são funções contínuas, bem como a propriedade de soma, produto e quociente de limites.

Passo 2

Para a parte a) temos uma soma de termos do tipo constante vezes potência de x. Pela propriedade da soma de limites e do fator constante, podemos escrever:
limxto -2l(3x^4 + 2x^2 - x + 1r) = 3limxto -2x^4 + 2limxto -2x^2 - limxto -2x + limxto -21
Como xⁿ é contínua, cada limite é a potência do ponto:
3(-2)^4 + 2(-2)^2 - (-2) + 1 = 3cdot16 + 2cdot4 + 2 + 1 = 48 + 8 + 2 + 1 = 59

Passo 3

Na parte b) temos um quociente de polinômios. Como o denominador não zera em t = -2, podemos usar a propriedade do quociente de limites:
limtto -2t^4 - 22t^2 - 3t + 2 = limtto -2(t^4 - 2)limtto -2(2t^2 - 3t + 2)
Substituindo diretamente (continuidade dos polinômios):
(-2)^4 - 22(-2)^2 - 3(-2) + 2 = 16 - 28 + 6 + 2 = 1416 = 78

Passo 4

Na parte c) temos produto de fatores (1 + raiz cúbica de x) e polinômio. A raiz cúbica é contínua, então:
limxto 8(1 + raiz[3]x)(2 - 6x^2 + x^3) = l(1 + limxto 8raiz[3]xr)cdot limxto 8(2 - 6x^2 + x^3)
Calculando cada lim:
1 + raiz[3]8 = 1 + 2 = 3,
2 - 6cdot8^2 + 8^3 = 2 - 6cdot64 + 512 = 2 - 384 + 512 = 130
Logo o produto é 3 · 130 = 390.

Passo 5

Na parte d) temos uma composição de quociente dentro de raiz quadrada. Primeiro aplicamos quociente de limites, depois continuidade da função raiz (para argumento positivo):
limxto 2raiz2x^2 + 13x - 2 = raizlimxto 2(2x^2 + 1)limxto 2(3x - 2)
Substituindo x = 2:
2cdot2^2 + 13cdot2 - 2 = 8 + 16 - 2 = 94
Como 9/4 > 0, a raiz existe e é contínua, obtendo
raiz9/4 = 32

Resposta

a) 59
b) tfrac78
c) 390
d) tfrac32

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