Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de cada função:
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função dada. A função é definida de duas formas: uma para todos os pontos
diferentes de
e outra especificamente no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais usando regras de derivação, como a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte da função onde
, ou seja:
Queremos encontrar as derivadas parciais
e
.
Passo 3
Para calcular
, usamos a regra do quociente. Se temos uma função
, então:
Aqui,
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas necessárias:
Agora, aplicamos na regra do quociente:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador:
Subtraindo:
Passo 6
Assim, a derivada parcial em relação a
fica:
Passo 7
Agora, vamos calcular
também usando a regra do quociente:
Onde:
Passo 8
Aplicando na regra do quociente:
Passo 9
Simplificando o numerador:
Subtraindo:
Passo 10
Portanto, a derivada parcial em relação a
é:
Passo 11
Agora, precisamos verificar o ponto especial
. A função está definida como
. Para calcular as derivadas parciais nesse ponto, usamos os limites:
Para
em
:
Como
, temos:
Para
em
:
Como
, e esse limite não existe (vai para infinito). Portanto,
não existe.
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
Para
:
No ponto
: