Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de cada função:
f(x, y)= 2 x^3+y^2x^2+y^4, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função dada. A função é definida de duas formas: uma para todos os pontos diferentes de e outra especificamente no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais usando regras de derivação, como a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte da função onde f(x, y) = 2x^3 + y^2x^2 + y^4 , ou seja:
Queremos encontrar as derivadas parciais e .

Passo 3

Para calcular partialpartial x(uv) = v cdot partial upartial x - u cdot partial vpartial xv^2 , usamos a regra do quociente. Se temos uma função , então:
Aqui, e .

Passo 4

Calculando as derivadas necessárias:
partial upartial x = 6x^2
partial vpartial x = 2x
Agora, aplicamos na regra do quociente:
partial fpartial x = (x^2 + y^4) cdot 6x^2 - (2x^3 + y^2) cdot 2x(x^2 + y^4)^2

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
(x^2 + y^4) cdot 6x^2 = 6x^4 + 6x^2y^4
(2x^3 + y^2) cdot 2x = 4x^4 + 2xy^2
Subtraindo:
6x^4 + 6x^2y^4 - (4x^4 + 2xy^2) = 2x^4 + 6x^2y^4 - 2xy^2

Passo 6

Assim, a derivada parcial em relação a partial fpartial x = 2x^4 + 6x^2y^4 - 2xy^2(x^2 + y^4)^2 fica:

Passo 7

Agora, vamos calcular partialpartial y(uv) = v cdot partial upartial y - u cdot partial vpartial yv^2 também usando a regra do quociente:
partial upartial y = 2y
Onde:
partial vpartial y = 4y^3

Passo 8

Aplicando na regra do quociente:
partial fpartial y = (x^2 + y^4) cdot 2y - (2x^3 + y^2) cdot 4y^3(x^2 + y^4)^2

Passo 9

Simplificando o numerador:
(x^2 + y^4) cdot 2y = 2x^2y + 2y^5
(2x^3 + y^2) cdot 4y^3 = 8x^3y^3 + 4y^5
Subtraindo:
2x^2y + 2y^5 - (8x^3y^3 + 4y^5) = 2x^2y - 8x^3y^3 - 2y^5

Passo 10

Portanto, a derivada parcial em relação a partial fpartial y = 2x^2y - 8x^3y^3 - 2y^5(x^2 + y^4)^2 é:

Passo 11

Agora, precisamos verificar o ponto especial partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h . A função está definida como partial fpartial x(0,0) = limh to 0 2h - 0h = 2 . Para calcular as derivadas parciais nesse ponto, usamos os limites:
Para partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k em :
Como , temos:
Para em :
Como , e esse limite não existe (vai para infinito). Portanto, não existe.

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função partial fpartial x = 2x^4 + 6x^2y^4 - 2xy^2(x^2 + y^4)^2 são:
Para partial fpartial y = 2x^2y - 8x^3y^3 - 2y^5(x^2 + y^4)^2 :
partial fpartial x(0,0) = 2
partial fpartial y(0,0) não existe
No ponto :
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