Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de cada função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre derivadas parciais! A gente tem a função . O que precisamos fazer é calcular as derivadas parciais de primeira ordem em relação a cada uma das variáveis
,
e
. Para isso, vamos usar as regras básicas de derivação parciais, tratando as outras variáveis como constantes em cada caso.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, isto é,
. Lembre-se que quando derivamos em relação a
, consideramos
e
como constantes.
A função é:
Derivando termo a termo em relação a
:
-
: Use a regra da cadeia. A derivada de é
. -
, então . - Portanto, a derivada é
.
-
-
: é constante em relação a , então a derivada é . -
: Não depende de , então a derivada é 0.
Assim, juntando tudo:
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, consideramos
e
como constantes.
Derivando termo a termo:
-
: A derivada é , já que é constante em relação a
. -
: Derivada de é , então a derivada é . -
: Não depende de , então a derivada é 0.
Portanto:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, consideramos
e
como constantes.
Derivando termo a termo:
-
: Use a regra da cadeia. A derivada de em relação a
é . -
, então . - Portanto, a derivada é
.
-
-
: Não depende de , então a derivada é 0. -
: Derivada em relação a é .
Assim, juntando tudo:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são: