Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de cada função:
f(x, y)=y sen(x^2-z)+x^3 y^2-6 z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre derivadas parciais! A gente tem a função . O que precisamos fazer é calcular as derivadas parciais de primeira ordem em relação a cada uma das variáveis , e . Para isso, vamos usar as regras básicas de derivação parciais, tratando as outras variáveis como constantes em cada caso.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de f(x, y, z) = y cdot sen(x^2 - z) + x^3 y^2 - 6z em relação a partial fpartial x = 2x y cos(x^2 - z) + 3x^2 y^2 , isto é, . Lembre-se que quando derivamos em relação a , consideramos e como constantes.
A função é:
Derivando termo a termo em relação a :
  1. : Use a regra da cadeia. A derivada de é .
    • , então .
    • Portanto, a derivada é .
  2. : é constante em relação a , então a derivada é .
  3. : Não depende de , então a derivada é 0.
Assim, juntando tudo:

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = sen(x^2 - z) + 2x^3 y em relação a , ou seja, . Aqui, consideramos e como constantes.
Derivando termo a termo:
  1. : A derivada é , já que é constante em relação a .
  2. : Derivada de é , então a derivada é .
  3. : Não depende de , então a derivada é 0.
Portanto:

Passo 4

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial z = -y cos(x^2 - z) - 6 em relação a , ou seja, . Aqui, consideramos e como constantes.
Derivando termo a termo:
  1. : Use a regra da cadeia. A derivada de em relação a é .
    • , então .
    • Portanto, a derivada é .
  2. : Não depende de , então a derivada é 0.
  3. : Derivada em relação a é .
Assim, juntando tudo:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
partial fpartial x = 2x y cos(x^2 - z) + 3x^2 y^2
partial fpartial y = sen(x^2 - z) + 2x^3 y

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