Determine os valores máximos e mínimos da função f sujeita a restrição dada usando o método dos Multiplicadores de Lagrange:
f(x, y, z)=x y z ; x^2+y^2+3 z^2=16
R.Pontos críticos: ( pm 4raiz3, pm 4raiz3, pm 4raiz3), fazer as combinações possíveis.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores máximo e mínimo de f(x,y,z)=xyz sob a restrição x^2+y^2+3z^2=16, usando o método de multiplicadores de Lagrange. Vamos usar a condição nabla f = lambda,nabla g, onde g(x,y,z)=x^2+y^2+3z^2-16.

Passo 2

Formamos as equações de Lagrange:
yz = 2lambda x, xz = 2lambda y, xy = 6lambda z,
além da restrição x^2+y^2+3z^2=16.

Passo 3

Das duas primeiras igualamos lambda:
yz2x = xz2y implies y^2 = x^2 implies y = pm x

Passo 4

Comparando a primeira e a terceira:
yz2x = xy6z implies 6z^2y = 2x^2y implies 3z^2 = x^2 implies z = pm xraiz3

Passo 5

Substituindo y=pm x e z=pm x/raiz3 na restrição:
x^2 + x^2 + 3l(tfracxraiz3r)^2 = 16 implies 3x^2=16 implies x=pm4raiz3

Passo 6

Logo os pontos críticos são
l(pmtfrac4raiz3,,pmtfrac4raiz3,,pmtfrac43r),
totalizando 8 combinações independentes de sinais.

Passo 7

Agora avaliamos f nesses pontos:
$$f\bigl(\pm\tfrac{4}{\sqrt3},\pm\tfrac{4}{\sqrt3},\pm\tfrac{4}{3}\bigr) = \pm\frac{64}{3\sqrt3}.
$$

Passo 8

Portanto o máximo de f ocorre quando o produto dos sinais é +1 e vale +tfrac643raiz3, e o mínimo quando o produto dos sinais é -1 e vale -tfrac643raiz3.

Resposta

Valor máximo = tfrac643raiz3; valor mínimo = -tfrac643raiz3.

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