Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de cada função:
Passo 1
O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
Informações relevantes dadas:
- A função está explicitamente em termos de
e . - A parte
exige , portanto não está definida em .
As respostas pedidas sãoe .
Passo 2
O que é derivada parcial (de forma prática)?
- A derivada parcial de
em relação a , , mede a taxa de variação de quando varia e é mantido fixo. - Analogamente,
mede a variação quando varia e fica fixo.
Para calcular parciais com funções compostas e produtos usamos duas regras fundamentais:
- Regra do produto: se
então
- Regra da cadeia (para
): se então
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Identificar as partes para aplicar a regra do produto:
Calcular as derivadas parciais de
:
Isso vem da derivada de
ser
(tratando
como constante) e da derivada de
em relação a
ser zero; e vice-versa para
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
usando regra da cadeia. Primeiro note que a função interna é
As derivadas parciais de
são
Aplicando a regra da cadeia para
temos
Observação: isso só vale onde
, como já lembrado.
Passo 5
Agora aplico a regra do produto para obter
. Usando
substituo os valores calculados:
Fatorando
para deixar a expressão mais compacta:
Passo 6
Agora calculo
de modo análogo. Apliquei
Substituindo:
Fatorando
e organizando o sinal:
Passo 7
Resumo e observações finais rápidas (úteis na prova):
- As expressões finais estão válidas para todos os pontos com
. - Em
a função não é definida por causa do , então não há derivadas parciais naquele ponto. - Estruturas como fatorar
ou ajudam a reconhecer padrões e facilitam avaliação rápida em provas.