Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de cada função:
f(x, y)=\left(x^{2}-y^{2}\right) \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=\left(x^{2}-y^{2}\right)\ln\left(x^{2}+y^{2}\right).
Informações relevantes dadas:
  • A função está explicitamente em termos de x e y.
  • A parte \ln\left(x^{2}+y^{2}\right) exige x^{2}+y^{2}>0, portanto f não está definida em (0,0).
    As respostas pedidas são \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.

Passo 2

O que é derivada parcial (de forma prática)?
  • A derivada parcial de f em relação a x, \dfrac{\partial f}{\partial x}, mede a taxa de variação de f quando x varia e y é mantido fixo.
  • Analogamente, \dfrac{\partial f}{\partial y} mede a variação quando y varia e x fica fixo.
Para calcular parciais com funções compostas e produtos usamos duas regras fundamentais:
  1. Regra do produto: se f(x,y)=u(x,y)\,v(x,y) então
\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}= \frac{\partial u}{\partial y}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial y}.
  1. Regra da cadeia (para \ln): se v(x,y)=\ln\big(g(x,y)\big) então
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{g(x,y)}\frac{\partial g}{\partial x}, \qquad \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{1}{g(x,y)}\frac{\partial g}{\partial y}.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Identificar as partes para aplicar a regra do produto:
u(x,y)=x^{2}-y^{2},\qquad v(x,y)=\ln\left(x^{2}+y^{2}\right).
Calcular as derivadas parciais de u:
\frac{\partial u}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-2y.
Isso vem da derivada de x^{2} ser 2x (tratando y como constante) e da derivada de -y^{2} em relação a x ser zero; e vice-versa para \partial u/\partial y.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de v usando regra da cadeia. Primeiro note que a função interna é
g(x,y)=x^{2}+y^{2}.
As derivadas parciais de g são
\frac{\partial g}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=2y.
Aplicando a regra da cadeia para v=\ln(g) temos
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{g(x,y)}\cdot\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}},
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{1}{g(x,y)}\cdot\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.
Observação: isso só vale onde x^{2}+y^{2}>0, como já lembrado.

Passo 5

Agora aplico a regra do produto para obter \dfrac{\partial f}{\partial x}. Usando
\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x},
substituo os valores calculados:
\frac{\partial f}{\partial x}= 2x\cdot\ln\left(x^{2}+y^{2}\right) + \left(x^{2}-y^{2}\right)\cdot\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}.
Fatorando 2x para deixar a expressão mais compacta:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x\left[\ln\left(x^{2}+y^{2}\right)+\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right].

Passo 6

Agora calculo \dfrac{\partial f}{\partial y} de modo análogo. Apliquei
\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{\partial u}{\partial y}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial y}.
Substituindo:
\frac{\partial f}{\partial y}= (-2y)\cdot\ln\left(x^{2}+y^{2}\right) + \left(x^{2}-y^{2}\right)\cdot\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.
Fatorando 2y e organizando o sinal:
\frac{\partial f}{\partial y}=2y\left[\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}-\ln\left(x^{2}+y^{2}\right)\right].

Passo 7

Resumo e observações finais rápidas (úteis na prova):
  • As expressões finais estão válidas para todos os pontos com x^{2}+y^{2}>0.
  • Em (0,0) a função não é definida por causa do \ln, então não há derivadas parciais naquele ponto.
  • Estruturas como fatorar 2x ou 2y ajudam a reconhecer padrões e facilitam avaliação rápida em provas.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=2x\left[\ln\left(x^{2}+y^{2}\right)+\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right]
\dfrac{\partial f}{\partial y}=2y\left[\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}-\ln\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]

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