Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: a função é
.
Pede-se as derivadas parciais de segunda ordem, isto é:
Pede-se as derivadas parciais de segunda ordem, isto é:
Informação importante sobre o domínio: a função só está definida quando
. Em toda a resolução manterei essa condição.
Passo 2
Primeiro vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Para isso uso a regra do quociente: se
então, mantendo a outra variável fixa,
Aqui tomo
Calculam-se as derivadas parciais de
e
:
Passo 3
Agora aplico a fórmula para
:
Faço a simplificação no numerador:
Portanto
Passo 4
Agora
usando a mesma regra:
Simplificando o numerador:
Logo
Passo 5
Para as derivadas de segunda ordem vou diferenciar
e
novamente. Relembre: ao derivar expressões do tipo
usa-se a regra da cadeia; ao derivar produto usa-se a regra do produto. Vou mostrar cada derivada passo a passo.
Passo 6
Cálculo de
. Como
trata-se de um produto onde
é constante em relação a
. Aplicando a regra da cadeia à potência:
Multiplicando por
:
Passo 7
Cálculo de
. Parto de
Aqui uso a regra do produto em
:
A derivada da potência pelo argumento é
Substituindo:
Coloco em denominador comum
:
Passo 8
Cálculo de
. Para conferir a simetria dos mistos e também para praticar, derivo
em relação a
. Uso a regra do produto:
E
Logo
Colocando em denominador comum:
Observação:
, como esperado, porque
é suficientemente suave no domínio
.
Passo 9
Cálculo de
. Como
aqui
é constante; aplicando a regra da cadeia: