Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função:
f(x, y)=\frac{x-y}{x+y}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: a função é f(x,y)=\dfrac{x-y}{x+y}.
Pede-se as derivadas parciais de segunda ordem, isto é:
f_{xx},\quad f_{xy},\quad f_{yx},\quad f_{yy}.
Informação importante sobre o domínio: a função só está definida quando x+y\neq0. Em toda a resolução manterei essa condição.

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Para isso uso a regra do quociente: se f=\dfrac{u}{v} então, mantendo a outra variável fixa,
f_x=\frac{u_x v - u v_x}{v^2},\qquad f_y=\frac{u_y v - u v_y}{v^2}.
Aqui tomo
u(x,y)=x-y,\qquad v(x,y)=x+y.
Calculam-se as derivadas parciais de u e v:
u_x=1,\quad u_y=-1,\quad v_x=1,\quad v_y=1.

Passo 3

Agora aplico a fórmula para f_x:
f_x=\frac{u_x v - u v_x}{v^2} =\frac{1\cdot(x+y)-(x-y)\cdot 1}{(x+y)^2}.
Faço a simplificação no numerador:
(x+y)-(x-y)=x+y-x+y=2y.
Portanto
f_x(x,y)=\frac{2y}{(x+y)^2}.

Passo 4

Agora f_y usando a mesma regra:
f_y=\frac{u_y v - u v_y}{v^2} =\frac{(-1)\cdot(x+y)-(x-y)\cdot 1}{(x+y)^2}.
Simplificando o numerador:
- (x+y)-(x-y)=-x-y-x+y=-2x.
Logo
f_y(x,y)=-\frac{2x}{(x+y)^2}.

Passo 5

Para as derivadas de segunda ordem vou diferenciar f_x e f_y novamente. Relembre: ao derivar expressões do tipo g(x,y)=(x+y)^{-2} usa-se a regra da cadeia; ao derivar produto usa-se a regra do produto. Vou mostrar cada derivada passo a passo.

Passo 6

Cálculo de f_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}f_x. Como
f_x(x,y)=2y\,(x+y)^{-2},
trata-se de um produto onde 2y é constante em relação a x. Aplicando a regra da cadeia à potência:
\frac{\partial}{\partial x}(x+y)^{-2}=-2(x+y)^{-3}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+y)=-2(x+y)^{-3}.
Multiplicando por 2y:
f_{xx}(x,y)=2y\cdot\big(-2(x+y)^{-3}\big)=-\frac{4y}{(x+y)^3}.

Passo 7

Cálculo de f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}f_x. Parto de
f_x(x,y)=2y\,(x+y)^{-2}.
Aqui uso a regra do produto em y:
\frac{\partial}{\partial y}\big(2y\,(x+y)^{-2}\big)=2\cdot (x+y)^{-2} + 2y\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+y)^{-2}.
A derivada da potência pelo argumento é
\frac{\partial}{\partial y}(x+y)^{-2}=-2(x+y)^{-3}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=-2(x+y)^{-3}.
Substituindo:
f_{xy}= \frac{2}{(x+y)^2} + 2y\cdot\big(-2(x+y)^{-3}\big) = \frac{2}{(x+y)^2} - \frac{4y}{(x+y)^3}.
Coloco em denominador comum (x+y)^3:
f_{xy}=\frac{2(x+y)-4y}{(x+y)^3}=\frac{2x-2y}{(x+y)^3}=\frac{2(x-y)}{(x+y)^3}.

Passo 8

Cálculo de f_{yx}=\dfrac{\partial}{\partial x}f_y. Para conferir a simetria dos mistos e também para praticar, derivo
f_y(x,y)=-2x\,(x+y)^{-2}
em relação a x. Uso a regra do produto:
\frac{\partial}{\partial x}\big(-2x\,(x+y)^{-2}\big)=-2\cdot (x+y)^{-2} + (-2x)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+y)^{-2}.
E
\frac{\partial}{\partial x}(x+y)^{-2}=-2(x+y)^{-3}.
Logo
f_{yx}=-\frac{2}{(x+y)^2} + (-2x)\cdot\big(-2(x+y)^{-3}\big) = -\frac{2}{(x+y)^2} + \frac{4x}{(x+y)^3}.
Colocando em denominador comum:
f_{yx}=\frac{-2(x+y)+4x}{(x+y)^3}=\frac{2x-2y}{(x+y)^3}=\frac{2(x-y)}{(x+y)^3}.
Observação: f_{xy}=f_{yx}, como esperado, porque f é suficientemente suave no domínio x+y\neq0.

Passo 9

Cálculo de f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}f_y. Como
f_y(x,y)=-2x\,(x+y)^{-2},
aqui x é constante; aplicando a regra da cadeia:
f_{yy}=-2x\cdot\big(-2(x+y)^{-3}\big)=\frac{4x}{(x+y)^3}.

Resposta

f_{xx}(x,y)=-\dfrac{4y}{(x+y)^3}
f_{xy}(x,y)=\dfrac{2(x-y)}{(x+y)^3}
f_{yx}(x,y)=\dfrac{2(x-y)}{(x+y)^3}
f_{yy}(x,y)=\dfrac{4x}{(x+y)^3}

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