Marque V se a afirmação for verdadeira ou F se for falsa.
  • Se f(t) é uma função contínua por partes em [0,+\infty) e de ordem exponencial, então sua transformada de Laplace F(s) satisfaz
|s| \rightarrow+\infty
  • Qualquer função f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} contínua admite transformada de Laplace.
  • Se F(s)=\mathscr{L}\{f(t)\}, então F é uma transformação linear.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as três afirmações que temos que decidir (marcar V ou F).
Afirmação (1): "Se f(t) é uma função contínua por partes em [0,+\infty) e de ordem exponencial, então sua transformada de Laplace F(s) satisfaz
|s| \rightarrow+\infty"
Observação: o enunciado parece truncado/ambíguo. A forma mais habitual dessa afirmação é "então F(s)\to 0 quando |s|\to+\infty" ou "quando s\to+\infty". Vou assumir que a intenção é afirmar que a transformada tende a zero quando o módulo |s| (ou, na versão usual, s real) tende a +\infty. Se isso estiver errado, a conclusão pode mudar, mas seguirei essa interpretação.
Afirmação (2): “Qualquer função f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} contínua admite transformada de Laplace.”
Afirmação (3): “Se F(s)=\mathscr{L}\{f(t)\}, então F é uma transformação linear.”
O pedido: para cada afirmação, marcar V (verdadeira) ou F (falsa). Nos passos seguintes vou explicar a teoria necessária e justificar cada escolha, sem pular etapas.

Passo 2

Conceitos e teoremas que vamos usar (explicados devagar).
Definição (contínua por partes): Uma função f:[0,\infty)\to\mathbb{R} é contínua por partes se, em qualquer intervalo finito [0,A], há um número finito de pontos onde f pode ter descontinuidade do tipo salto; fora desses pontos é contínua. Na prática isso é suficiente para que integrais tipo \int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt façam sentido por partes.
Definição (ordem exponencial): Dizemos que f é de ordem exponencial se existem constantes M>0, a\in\mathbb{R} e t_0\ge0 tais que
|f(t)|\le M e^{a t}\qquad\text{para todo }t\ge t_0.
Isto significa que f não cresce mais rápido que uma exponencial e^{a t} para t grande.
Existência da transformada: Se f é contínua por partes em [0,\infty) e de ordem exponencial com constante a, então a integral da transformada de Laplace
F(s)=\mathscr{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-s t}\,dt
converge (absolutamente) para todo s com \Re(s)>a. Essa é a condição padrão de existência.
Observação sobre limites: Existe um resultado simples e muito usado: se existe M e a com |f(t)|\le M e^{a t} e s é real com s>a, então
|F(s)| \le \int_{0}^{\infty} |f(t)| e^{-s t}\,dt \le M\int_{0}^{\infty} e^{(a-s)t}\,dt = \frac{M}{s-a}.
A partir daí, se fazemos s\to +\infty (valores reais), o lado direito tende a 0, logo F(s)\to0. Isso é a versão técnica do que muita gente resume dizendo "a transformada tende a zero quando s\to+\infty".
Importante sobre |s|\to\infty no plano complexo: |s|\to\infty permite trajetórias onde \Re(s) não cresce (por exemplo, s indo na direção imaginária pura). A estimativa acima usa s real grande (ou pelo menos \Re(s) grande). Portanto há uma sutileza entre afirmar “quando s\to+\infty (real)” e “quando |s|\to\infty (complexo)”. Vou tratar isso explicitamente ao julgar a primeira afirmação.

Passo 3

Análise da Afirmação (1).
Reescrevendo a interpretação razoável: “Se f é contínua por partes em [0,\infty) e de ordem exponencial, então sua transformada de Laplace F(s) satisfaz \displaystyle F(s)\to0 quando |s|\to+\infty.”
Vamos separar duas leituras possíveis e ver qual é correta.
Leitura A (mais comum e correta): interpretar s como variável real e dizer que F(s)\to0 quando s\to+\infty. Usando a desigualdade do Passo 2:
|F(s)|\le \frac{M}{s-a}\quad\text{para }s>a,
portanto \lim_{s\to+\infty}F(s)=0. Assim, sob essa leitura, a afirmação é verdadeira. A prova é elementar e baseada na estimativa com M e a.
Leitura B (mais literal e ambígua): interpretar a afirmação exatamente como escrita, dizendo que F(s)\to0 quando |s|\to\infty no plano complexo, sem restringir \Re(s). Nesse caso a afirmação é mais delicada: para |s|\to\infty ao longo trajetórias onde \Re(s) permanece pequeno ou negativo (por exemplo s=in\omega com grandes \omega), a conclusão não segue diretamente da estimativa anterior. Existem resultados de teoria complexa que garantem decaimento em certas regiões, mas afirmar simplesmente "quando |s|\to\infty" sem mais hipóteses é arriscado e, em geral, não é a forma usual do teorema básico. Portanto se o enunciado fosse interpretado literalmente como convergência em todo |s|\to\infty no plano complexo, isso é ambíguo e pode ser falso sem hipóteses adicionais.
Conclusão prática (seguindo a interpretação usual de exercícios): a intenção é a Leitura A ( s real grande). Assim, considerando essa interpretação, a afirmação (1) é verdadeira. Se o examinador tivesse querido falar do plano complexo com |s|\to\infty teria que especificar mais.

Passo 4

Análise da Afirmação (2).
A afirmação diz: “Qualquer função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} contínua admite transformada de Laplace.”
Primeiro lembrete rápido: a transformada de Laplace, na sua definição usual, é
\mathscr{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-s t}\,dt,
ou seja, depende apenas dos valores de f para t\ge0. Mas isso não garante existência: a integral pode divergir se f cresce demais. Para que a transformada exista (mesmo em algum semiplano \Re(s)>a) é suficiente que f seja contínua por partes e de ordem exponencial; mas nem toda função contínua em \mathbb{R} satisfaz essa propriedade de ordem exponencial.
Contraexemplo explícito e simples: escolha
f(t)=e^{t^{2}},\quad t\in\mathbb{R}.
Essa função é contínua em toda a reta, claramente. Vamos checar a transformada para qualquer s\in\mathbb{C} com \Re(s)=\sigma. Para t grande, o integrando se comporta como
f(t)e^{-s t}=e^{t^{2}}e^{-s t}=e^{t^{2}-s t}.
Para real t grande, t^{2}-\sigma t\sim t^{2} domina e tende a +\infty, então a integral \int_{0}^{\infty} e^{t^{2}-s t}\,dt diverge: não há valor de \sigma que faça e^{t^{2}-\sigma t} decair exponencialmente. Logo \mathscr{L}\{f\}(s) não existe para nenhum s. Assim existe função contínua (a acima) que não admite transformada de Laplace. Portanto a afirmação (2) é falsa.
Resumo didático: continuidade global não é suficiente; é preciso controlar o crescimento (ordem exponencial). Muitos alunos erram porque confundem “continuidade” com “comportamento em infinito”.

Passo 5

Análise da Afirmação (3).
A afirmação: “Se F(s)=\mathscr{L}\{f(t)\}, então F é uma transformação linear.” Aqui a forma correta que se quer testar é se a operação \mathscr{L} é linear: isto é, se para constantes a,b\in\mathbb{R} (ou \mathbb{C}) e funções f,g adequadas,
\mathscr{L}\{a f + b g\}(s)=a\,\mathscr{L}\{f\}(s)+b\,\mathscr{L}\{g\}(s).
Prova elementar usando linearidade da integral: suponha que f e g tenham transformadas (isto é, as integrais convergem no mesmo semiplano onde avaliamos). Então
\mathscr{L}\{a f + b g\}(s)=\int_{0}^{\infty} \big(a f(t)+b g(t)\big)e^{-s t}\,dt
Pelo teorema da linearidade da integral (soma e multiplicação por escalar saem da integral),
=\;a\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-s t}\,dt + b\int_{0}^{\infty} g(t)e^{-s t}\,dt = a\,\mathscr{L}\{f\}(s)+b\,\mathscr{L}\{g\}(s).
Portanto a transformada de Laplace é linear (com a ressalva técnica de que as integrais devem existir onde se quer aplicar a propriedade). Na prática, em exercícios de prova isso é considerado verdadeiro sem maiores discussões.

Passo 6

Recapitulando e dando a resposta final concisa:
  • Afirmação (1): com a interpretação usual (" s real tendendo a +\infty"), verdadeira.
  • Afirmação (2): falsa (contraexemplo f(t)=e^{t^{2}}).
  • Afirmação (3): verdadeira (linearidade da integral).
Força aí — você já destrinchou essas ideias: existência pede controle do crescimento (ordem exponencial) e a linearidade vem direto pela integral. Se quiser, eu faço uma versão ainda mais curta para colar na prova.

Resposta

V
F
V

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