Marque V se a afirmação for verdadeira ou F se for falsa.
- Se
é uma função contínua por partes em
e de ordem exponencial, então sua transformada de Laplace
satisfaz
- Qualquer função
contínua admite transformada de Laplace.
- Se
, então
é uma transformação linear.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as três afirmações que temos que decidir (marcar
ou
).
Afirmação (1): "Se
é uma função contínua por partes em
e de ordem exponencial, então sua transformada de Laplace
satisfaz
Observação: o enunciado parece truncado/ambíguo. A forma mais habitual dessa afirmação é "então
quando
" ou "quando
". Vou assumir que a intenção é afirmar que a transformada tende a zero quando o módulo
(ou, na versão usual,
real) tende a
. Se isso estiver errado, a conclusão pode mudar, mas seguirei essa interpretação.
Afirmação (2): “Qualquer função
contínua admite transformada de Laplace.”
Afirmação (3): “Se
, então
é uma transformação linear.”
O pedido: para cada afirmação, marcar
(verdadeira) ou
(falsa). Nos passos seguintes vou explicar a teoria necessária e justificar cada escolha, sem pular etapas.
Passo 2
Conceitos e teoremas que vamos usar (explicados devagar).
Definição (contínua por partes): Uma função
é contínua por partes se, em qualquer intervalo finito
, há um número finito de pontos onde
pode ter descontinuidade do tipo salto; fora desses pontos é contínua. Na prática isso é suficiente para que integrais tipo
façam sentido por partes.
Definição (ordem exponencial): Dizemos que
é de ordem exponencial se existem constantes
,
e
tais que
Isto significa que
não cresce mais rápido que uma exponencial
para
grande.
Existência da transformada: Se
é contínua por partes em
e de ordem exponencial com constante
, então a integral da transformada de Laplace
converge (absolutamente) para todo
com
. Essa é a condição padrão de existência.
Observação sobre limites: Existe um resultado simples e muito usado: se existe
e
com
e
é real com
, então
A partir daí, se fazemos
(valores reais), o lado direito tende a
, logo
. Isso é a versão técnica do que muita gente resume dizendo "a transformada tende a zero quando
".
Importante sobre
no plano complexo:
permite trajetórias onde
não cresce (por exemplo,
indo na direção imaginária pura). A estimativa acima usa
real grande (ou pelo menos
grande). Portanto há uma sutileza entre afirmar “quando
(real)” e “quando
(complexo)”. Vou tratar isso explicitamente ao julgar a primeira afirmação.
Passo 3
Análise da Afirmação (1).
Reescrevendo a interpretação razoável: “Se
é contínua por partes em
e de ordem exponencial, então sua transformada de Laplace
satisfaz
quando
.”
Vamos separar duas leituras possíveis e ver qual é correta.
Leitura A (mais comum e correta): interpretar
como variável real e dizer que
quando
. Usando a desigualdade do Passo 2:
portanto
. Assim, sob essa leitura, a afirmação é verdadeira. A prova é elementar e baseada na estimativa com
e
.
Leitura B (mais literal e ambígua): interpretar a afirmação exatamente como escrita, dizendo que
quando
no plano complexo, sem restringir
. Nesse caso a afirmação é mais delicada: para
ao longo trajetórias onde
permanece pequeno ou negativo (por exemplo
com grandes
), a conclusão não segue diretamente da estimativa anterior. Existem resultados de teoria complexa que garantem decaimento em certas regiões, mas afirmar simplesmente "quando
" sem mais hipóteses é arriscado e, em geral, não é a forma usual do teorema básico. Portanto se o enunciado fosse interpretado literalmente como convergência em todo
no plano complexo, isso é ambíguo e pode ser falso sem hipóteses adicionais.
Conclusão prática (seguindo a interpretação usual de exercícios): a intenção é a Leitura A (
real grande). Assim, considerando essa interpretação, a afirmação (1) é verdadeira. Se o examinador tivesse querido falar do plano complexo com
teria que especificar mais.
Passo 4
Análise da Afirmação (2).
A afirmação diz: “Qualquer função
contínua admite transformada de Laplace.”
Primeiro lembrete rápido: a transformada de Laplace, na sua definição usual, é
ou seja, depende apenas dos valores de
para
. Mas isso não garante existência: a integral pode divergir se
cresce demais. Para que a transformada exista (mesmo em algum semiplano
) é suficiente que
seja contínua por partes e de ordem exponencial; mas nem toda função contínua em
satisfaz essa propriedade de ordem exponencial.
Contraexemplo explícito e simples: escolha
Essa função é contínua em toda a reta, claramente. Vamos checar a transformada para qualquer
com
. Para
grande, o integrando se comporta como
Para real
grande,
domina e tende a
, então a integral
diverge: não há valor de
que faça
decair exponencialmente. Logo
não existe para nenhum
. Assim existe função contínua (a acima) que não admite transformada de Laplace. Portanto a afirmação (2) é falsa.
Resumo didático: continuidade global não é suficiente; é preciso controlar o crescimento (ordem exponencial). Muitos alunos erram porque confundem “continuidade” com “comportamento em infinito”.
Passo 5
Análise da Afirmação (3).
A afirmação: “Se
, então
é uma transformação linear.” Aqui a forma correta que se quer testar é se a operação
é linear: isto é, se para constantes
(ou
) e funções
adequadas,
Prova elementar usando linearidade da integral: suponha que
e
tenham transformadas (isto é, as integrais convergem no mesmo semiplano onde avaliamos). Então
Pelo teorema da linearidade da integral (soma e multiplicação por escalar saem da integral),
Portanto a transformada de Laplace é linear (com a ressalva técnica de que as integrais devem existir onde se quer aplicar a propriedade). Na prática, em exercícios de prova isso é considerado verdadeiro sem maiores discussões.
Passo 6
Recapitulando e dando a resposta final concisa:
- Afirmação (1): com a interpretação usual ("
real tendendo a "), verdadeira. - Afirmação (2): falsa (contraexemplo
). - Afirmação (3): verdadeira (linearidade da integral).
Força aí — você já destrinchou essas ideias: existência pede controle do crescimento (ordem exponencial) e a linearidade vem direto pela integral. Se quiser, eu faço uma versão ainda mais curta para colar na prova.
Resposta
V
F
V
F
V