Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x, y)=x^{2} y^{3}+e^{x y}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=x^{2}y^{3}+e^{xy}.
As perguntas que temos que responder são:
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y).
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y).
Informações dadas:
  • A função explícita \;f(x,y)=x^{2}y^{3}+e^{xy}\;.
  • Nenhuma outra condição (ponto específico) foi fornecida, então devemos dar as fórmulas gerais das derivadas parciais.

Passo 2

O que significa derivada parcial? Vou explicar com calma.
Definição (em palavras): a derivada parcial de f em relação a x mede a variação de f quando x varia e y fica fixo. Analogamente, a derivada parcial de f em relação a y mede a variação de f quando y varia e x fica fixo.
Definição (formal): a derivada parcial de f em relação a x é
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},
e a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Regras que vamos usar (explicadas):
  • Regra da constante multiplicativa: se uma expressão é um produto de uma função de x por uma constante (em relação a x), a constante sai da derivada.
    Ex.: se g(x)=c\cdot x^{2} com c constante, então g'(x)=c\cdot 2x.
  • Regra da potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Regra da cadeia (para exponenciais): \dfrac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x). Aqui u(x) é o expoente; se o expoente depende de x, multiplicamos por sua derivada.
  • Para derivadas parciais, ao derivar em relação a x tratamos y como constante, e vice-versa.

Passo 3

Derivada parcial em relação a x.
Tomamos cada termo de f separadamente.
  1. Primeiro termo: \;x^{2}y^{3}.
  • Aqui, ao derivar em relação a x, y^{3} é constante (porque y está fixo).
  • Pela regra da constante multiplicativa e da potência:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)=y^{3}\cdot\frac{d}{dx}x^{2}=y^{3}\cdot 2x.
  1. Segundo termo: \;e^{xy}.
  • O expoente é u(x,y)=xy. Ao derivar em x, usamos a regra da cadeia para a função exponencial.
  • Primeiro, \dfrac{\partial}{\partial x}e^{u}=e^{u}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}.
  • Aqui \dfrac{\partial}{\partial x}(xy)=y (porque x varia e y é constante).
  • Portanto
\frac{\partial}{\partial x}e^{xy}=e^{xy}\cdot y.
Agora somamos as contribuições (derivada do somatório é soma das derivadas). Assim, a expressão da derivada parcial em relação a x é obtida somando os resultados dos dois termos (o enunciado exige a resposta final; ela será colocada na seção

Passo 4

Derivada parcial em relação a y.
De novo, tratamos x como constante.
  1. Primeiro termo: \;x^{2}y^{3}.
  • Agora x^{2} é constante ao derivar em y.
  • Pela regra da potência:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)=x^{2}\cdot\frac{d}{dy}y^{3}=x^{2}\cdot 3y^{2}.
  1. Segundo termo: \;e^{xy}.
  • Use a regra da cadeia para derivada em y:
\frac{\partial}{\partial y}e^{xy}=e^{xy}\cdot \frac{\partial}{\partial y}(xy).
  • Aqui \dfrac{\partial}{\partial y}(xy)=x (porque x é constante).
  • Então
\frac{\partial}{\partial y}e^{xy}=e^{xy}\cdot x.
Somando as duas contribuições obtemos a expressão da derivada parcial em relação a y; a resposta final está na seção

Passo 5

Ilustração rápida para ganhar confiança: se quiser avaliar as derivadas em um ponto específico, por exemplo em (x,y)=(1,2), basta substituir nessa fórmula final. Exemplo (apenas para verificar o procedimento):
  • A parte do polinômio em \dfrac{\partial f}{\partial x} daria 2\cdot 1\cdot 2^{3}=2\cdot 8=16.
  • A parte exponencial daria y e^{xy}=2e^{2}.
  • Então \dfrac{\partial f}{\partial x}(1,2)=16+2e^{2}. (Isto é só um exemplo numérico para ver como usar a fórmula.)

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x\,y^{3}+y\,e^{xy}
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3x^{2}\,y^{2}+x\,e^{xy}

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