Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
As perguntas que temos que responder são:
- Calcular
. - Calcular
.
Informações dadas:
- A função explícita
. - Nenhuma outra condição (ponto específico) foi fornecida, então devemos dar as fórmulas gerais das derivadas parciais.
Passo 2
O que significa derivada parcial? Vou explicar com calma.
Definição (em palavras): a derivada parcial de
em relação a
mede a variação de
quando
varia e
fica fixo. Analogamente, a derivada parcial de
em relação a
mede a variação de
quando
varia e
fica fixo.
Definição (formal): a derivada parcial de
em relação a
é
e a derivada parcial em relação a
é
Regras que vamos usar (explicadas):
- Regra da constante multiplicativa: se uma expressão é um produto de uma função de
por uma constante (em relação a ), a constante sai da derivada.
Ex.: secom constante, então . - Regra da potência:
. - Regra da cadeia (para exponenciais):
. Aqui é o expoente; se o expoente depende de , multiplicamos por sua derivada. - Para derivadas parciais, ao derivar em relação a
tratamos como constante, e vice-versa.
Passo 3
Derivada parcial em relação a
.
Tomamos cada termo de
separadamente.
- Primeiro termo:
.
- Aqui, ao derivar em relação a
, é constante (porque está fixo). - Pela regra da constante multiplicativa e da potência:
- Segundo termo:
.
- O expoente é
. Ao derivar em , usamos a regra da cadeia para a função exponencial. - Primeiro,
. - Aqui
(porque varia e é constante). - Portanto
Agora somamos as contribuições (derivada do somatório é soma das derivadas). Assim, a expressão da derivada parcial em relação a
é obtida somando os resultados dos dois termos (o enunciado exige a resposta final; ela será colocada na seção
Passo 4
Derivada parcial em relação a
.
De novo, tratamos
como constante.
- Primeiro termo:
.
- Agora
é constante ao derivar em . - Pela regra da potência:
- Segundo termo:
.
- Use a regra da cadeia para derivada em
:
- Aqui
(porque é constante). - Então
Somando as duas contribuições obtemos a expressão da derivada parcial em relação a
; a resposta final está na seção
Passo 5
Ilustração rápida para ganhar confiança: se quiser avaliar as derivadas em um ponto específico, por exemplo em
, basta substituir nessa fórmula final. Exemplo (apenas para verificar o procedimento):
- A parte do polinômio em
daria . - A parte exponencial daria
. - Então
. (Isto é só um exemplo numérico para ver como usar a fórmula.)