Questão 12. IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada) Utilize o produto interno para demonstrar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz em um espaço euclidiano
:
Determine em que condição a igualdade ocorre.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Demonstrar que, num espaço euclidiano
com produto interno e norma associada, vale
para quaisquer vetores
.
- Determinar em que condição ocorre a igualdade.
Informações dadas (que vou usar): temos vetores
e
em
, o produto interno
satisfaz as propriedades usuais e a norma é definida por
.
Passo 2
Primeiro, lembrar o que são as coisas que vou usar (do jeitinho simples):
- O produto interno
é uma função bilinear simétrica (no caso real) que associa a cada par um número real. - A norma associada é
. Isso significa que e , com somente quando .
Essas duas definições permitem manipular expressões do tipo
e expandi-las usando as propriedades do produto interno.
Passo 3
Construção da ideia-chave (passo intuitivo): para qualquer número real
a quantidade
é não negativa, porque é uma norma ao quadrado. Vou escrever essa expressão e desenvolvê-la em termos do produto interno:
Agora expandimos usando linearidade e simetria:
Como o produto interno é simétrico (
), isso vira
Em notação de norma:
Passo 4
Observação importante: a expressão acima é um polinômio quadrático em
,
e sabemos que
para todo
. Uma condição necessária e suficiente para um quadrático
ser não negativo para todo
(com
) é que seu discriminante seja menor ou igual a zero. Aqui
. Se
(isto é,
) a desigualdade a provar é trivial; então suponha
para aplicar o raciocínio do discriminante.
O discriminante de
é
Como
para todo
, deve-se ter
. Assim
Dividindo por
e rearranjando:
Tomando raiz quadrada dos dois lados e lembrando que o lado esquerdo é não negativo, obtemos a desigualdade desejada:
Passo 5
Condição de igualdade. A igualdade em
ocorre exatamente quando o discriminante
é zero, porque só assim o quadrático não negativo toca o eixo em um ponto (caso contrário seria estritamente positivo em algum
). Assim
implica
Voltando à expressão
, se
existe um valor real
(na verdade único) tal que
, isto é
. Como a norma é zero só para o vetor zero, isso implica
ou seja,
e
são linearmente dependentes (um é múltiplo escalar do outro). Esse raciocínio cobre também o caso trivial em que
ou
: nesses casos a igualdade também ocorre.
O recíproco também é fácil de ver: se
para algum
, então
e
Portanto
Logo igualdade acontece exatamente quando
e
são linearmente dependentes (incluindo o caso de algum ser o vetor zero).
Passo 6
Exemplos curtos (pra fixar):
- Se
e no com o produto interno usual, então , , e . De fato . - Se
e , então e dá igualdade: .
Resposta
A igualdade ocorre se, e somente se,