Questão 12. IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada) Utilize o produto interno para demonstrar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz em um espaço euclidiano V :
|\langle u, v\rangle| \leq\|u\|\|v\|
Determine em que condição a igualdade ocorre.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Demonstrar que, num espaço euclidiano V com produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle e norma \|\cdot\| associada, vale
|\langle u,v\rangle| \le \|u\|\,\|v\|
para quaisquer vetores u,v\in V.
  • Determinar em que condição ocorre a igualdade.
Informações dadas (que vou usar): temos vetores u e v em V, o produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle satisfaz as propriedades usuais e a norma é definida por \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que são as coisas que vou usar (do jeitinho simples):
  • O produto interno \langle x,y\rangle é uma função bilinear simétrica (no caso real) que associa a cada par (x,y) um número real.
  • A norma associada é \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}. Isso significa que \|x\|^2=\langle x,x\rangle e \|x\|\ge0, com \|x\|=0 somente quando x=0.
Essas duas definições permitem manipular expressões do tipo \|u-tv\|^2 e expandi-las usando as propriedades do produto interno.

Passo 3

Construção da ideia-chave (passo intuitivo): para qualquer número real t a quantidade \|u-tv\|^2 é não negativa, porque é uma norma ao quadrado. Vou escrever essa expressão e desenvolvê-la em termos do produto interno:
\|u-tv\|^2=\langle u-tv,\,u-tv\rangle.
Agora expandimos usando linearidade e simetria:
\langle u-tv,\,u-tv\rangle = \langle u,u\rangle - t\langle u,v\rangle - t\langle v,u\rangle + t^2\langle v,v\rangle.
Como o produto interno é simétrico ( \langle v,u\rangle=\langle u,v\rangle), isso vira
\|u-tv\|^2=\langle u,u\rangle -2t\langle u,v\rangle + t^2\langle v,v\rangle.
Em notação de norma:
\|u-tv\|^2=\|u\|^2 -2t\langle u,v\rangle + t^2\|v\|^2.

Passo 4

Observação importante: a expressão acima é um polinômio quadrático em t,
f(t)=\|v\|^2 t^2 - 2\langle u,v\rangle t + \|u\|^2,
e sabemos que f(t)=\|u-tv\|^2\ge0 para todo t\in\mathbb{R}. Uma condição necessária e suficiente para um quadrático at^2+bt+c ser não negativo para todo t (com a>0) é que seu discriminante seja menor ou igual a zero. Aqui a=\|v\|^2\ge0. Se \|v\|=0 (isto é, v=0) a desigualdade a provar é trivial; então suponha \|v\|>0 para aplicar o raciocínio do discriminante.
O discriminante de f é
\Delta = (-2\langle u,v\rangle)^2 - 4\|v\|^2\|u\|^2 = 4\big(\langle u,v\rangle^2 - \|u\|^2\|v\|^2\big).
Como f(t)\ge0 para todo t, deve-se ter \Delta\le0. Assim
4\big(\langle u,v\rangle^2 - \|u\|^2\|v\|^2\big)\le0.
Dividindo por 4 e rearranjando:
\langle u,v\rangle^2 \le \|u\|^2\|v\|^2.
Tomando raiz quadrada dos dois lados e lembrando que o lado esquerdo é não negativo, obtemos a desigualdade desejada:
|\langle u,v\rangle| \le \|u\|\,\|v\|.

Passo 5

Condição de igualdade. A igualdade em |\langle u,v\rangle| = \|u\|\|v\| ocorre exatamente quando o discriminante \Delta é zero, porque só assim o quadrático não negativo toca o eixo em um ponto (caso contrário seria estritamente positivo em algum t). Assim \Delta=0 implica
\langle u,v\rangle^2 = \|u\|^2\|v\|^2.
Voltando à expressão \|u-tv\|^2, se \Delta=0 existe um valor real t (na verdade único) tal que f(t)=0, isto é \|u-tv\|^2=0. Como a norma é zero só para o vetor zero, isso implica
u = t v,
ou seja, u e v são linearmente dependentes (um é múltiplo escalar do outro). Esse raciocínio cobre também o caso trivial em que u=0 ou v=0: nesses casos a igualdade também ocorre.
O recíproco também é fácil de ver: se u=\alpha v para algum \alpha\in\mathbb{R}, então
\langle u,v\rangle = \langle \alpha v, v\rangle = \alpha\langle v,v\rangle = \alpha\|v\|^2,
e
\|u\| = \|\alpha v\| = |\alpha|\|v\|.
Portanto
|\langle u,v\rangle| = |\alpha| \|v\|^2 = \|u\|\,\|v\|.
Logo igualdade acontece exatamente quando u e v são linearmente dependentes (incluindo o caso de algum ser o vetor zero).

Passo 6

Exemplos curtos (pra fixar):
  • Se u=(1,2) e v=(3,4) no \mathbb{R}^2 com o produto interno usual, então \langle u,v\rangle=11, \|u\|=\sqrt{5}, \|v\|=5 e \|u\|\,\|v\|=5\sqrt{5}\approx11{,}18. De fato |11|<5\sqrt{5}.
  • Se u=(2,4) e v=(1,2), então u=2v e dá igualdade: |\langle u,v\rangle|=\|u\|\|v\|.

Resposta

|\langle u,v\rangle| \le \|u\|\,\|v\|
A igualdade ocorre se, e somente se, u e v são linearmente dependentes (isto é, existe \alpha\in\mathbb{R} tal que u=\alpha v; inclui o caso u=0 ou v=0).

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