Questão 11. IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada) Dados u, v \in R^{3}, o produto externo (vetorial) u \times v é um vetor ortogonal ao plano definido por u e v. Prove a identidade de Jacobi para o produto externo:
u \times(v \times w)+v \times(w \times u)+w \times(u \times v)=0

Passo 1

O enunciado nos dá vetores u,v,w\in\mathbb{R}^3 e lembra que o produto vetorial u\times v é um vetor ortogonal ao plano definido por u e v. O que precisa ser provado é a identidade de Jacobi, isto é, mostrar que
u\times(v\times w)+v\times(w\times u)+w\times(u\times v)=0
onde 0 é o vetor nulo em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Vou trabalhar em coordenadas e usar uma notação padrão para produto vetorial em componentes. Seja u=(u_1,u_2,u_3)\), \(v=(v_1,v_2,v_3)\), \(w=(w_1,w_2,w_3)\). Definimos o símbolo de Levi-Civita \(\varepsilon_{ijk}\) por \[\varepsilon_{ijk}= \begin{cases} +1 & \text{se }(i,j,k)\text{ for permutação par de }(1,2,3),\\[4pt] -1 & \text{se }(i,j,k)\text{ for permutação ímpar de }(1,2,3),\\[4pt] 0 & \text{se dois índices são iguais.} \end{cases}
Com esse símbolo, a componente i\]-ésima do produto vetorial é \[(u\times v)_i=\varepsilon_{ijk}\,u_j\,v_k.\] Aqui uso a convenção de soma de Einstein: um índice repetido em produto significa soma sobre \(1,2,3. Vou explicar e usar também o delta de Kronecker \delta_{ij}, definido por \delta_{ij}=1 se i=j e \delta_{ij}=0 se i\neq j.]

Passo 3

Um fato algébrico muito útil com \varepsilon e \delta é a identidade de contração
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\,\delta_{jm}-\delta_{im}\,\delta_{jl}.
Intuição curta (não é necessário decorar provas longas agora): o produto de duas \varepsilon com um índice repetido sumariza permutações e equivalentemente resulta numa combinação de deltas que selecionam coordenadas iguais ou trocadas. Essa identidade é padrão e será usada para simplificar produtos de dois símbolos \varepsilon.

Passo 4

Vamos escrever a componente i-ésima de u\times(v\times w) em termos das componentes de u,v,w:
\bigl(u\times(v\times w)\bigr)_i = \varepsilon_{ijk}\,u_j\,(v\times w)_k = \varepsilon_{ijk}\,u_j\,\varepsilon_{klm}\,v_l\,w_m.
Agora aplicamos a identidade do Passo 3 para eliminar o produto \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}. Assim
\bigl(u\times(v\times w)\bigr)_i = \bigl(\delta_{il}\,\delta_{jm}-\delta_{im}\,\delta_{jl}\bigr)\,u_j\,v_l\,w_m.
Desenvolvendo os deltas:
\bigl(u\times(v\times w)\bigr)_i = \delta_{il}\,\delta_{jm}\,u_j\,v_l\,w_m \;-\; \delta_{im}\,\delta_{jl}\,u_j\,v_l\,w_m.
As deltas simplificam índices:
\delta_{il}\,\delta_{jm}\,u_j\,v_l\,w_m = v_i\,(u_j w_j)=v_i\,(u\cdot w),
\delta_{im}\,\delta_{jl}\,u_j\,v_l\,w_m = w_i\,(u_j v_j)=w_i\,(u\cdot v).
Logo obtemos a identidade clássica do produto vetorial em “forma BAC–CAB”:
\boxed{\;u\times(v\times w)=v\,(u\cdot w)-w\,(u\cdot v)\;}.
Aqui u\cdot v é o produto escalar usual \sum_{j}u_j v_j. Expliquei como cada peça surge das contrações com \delta.

Passo 5

Agora usamos a fórmula obtida para cada termo do somatório pedido. Aplicando-a ciclicamente:
u\times(v\times w)=v\,(u\cdot w)-w\,(u\cdot v),
v\times(w\times u)=w\,(v\cdot u)-u\,(v\cdot w),
w\times(u\times v)=u\,(w\cdot v)-v\,(w\cdot u).
Somando as três expressões:
\begin{aligned} &u\times(v\times w)+v\times(w\times u)+w\times(u\times v)\\[4pt] ={}&\bigl[v\,(u\cdot w)-w\,(u\cdot v)\bigr] +\bigl[w\,(v\cdot u)-u\,(v\cdot w)\bigr] +\bigl[u\,(w\cdot v)-v\,(w\cdot u)\bigr]. \end{aligned}
Agora usamos que o produto escalar é comutativo: v\cdot u=u\cdot v e w\cdot v=v\cdot w, etc. Reagrupando por vetores u,v,w vemos que os coeficientes se cancelam par a par:
  • Coeficientes de u: - (v\cdot w) + (w\cdot v)=0.
  • Coeficientes de v: (u\cdot w) - (w\cdot u)=0.
  • Coeficientes de w: (v\cdot u) - (u\cdot v)=0.
Portanto toda a soma é o vetor nulo:
u\times(v\times w)+v\times(w\times u)+w\times(u\times v)=\mathbf{0}.]

Resposta

\mathbf{0}

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