Questão 11. IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada) Dados
, o produto externo (vetorial)
é um vetor ortogonal ao plano definido por
e
. Prove a identidade de Jacobi para o produto externo:
Passo 1
O enunciado nos dá vetores
e lembra que o produto vetorial
é um vetor ortogonal ao plano definido por
e
. O que precisa ser provado é a identidade de Jacobi, isto é, mostrar que
onde
é o vetor nulo em
.
Passo 2
Vou trabalhar em coordenadas e usar uma notação padrão para produto vetorial em componentes. Seja
Com esse símbolo, a componente
. Vou explicar e usar também o delta de Kronecker
, definido por
se
e
se
.]
Passo 3
Um fato algébrico muito útil com
e
é a identidade de contração
Intuição curta (não é necessário decorar provas longas agora): o produto de duas
com um índice repetido sumariza permutações e equivalentemente resulta numa combinação de deltas que selecionam coordenadas iguais ou trocadas. Essa identidade é padrão e será usada para simplificar produtos de dois símbolos
.
Passo 4
Vamos escrever a componente
-ésima de
em termos das componentes de
:
Agora aplicamos a identidade do Passo 3 para eliminar o produto
. Assim
Desenvolvendo os deltas:
As deltas simplificam índices:
Logo obtemos a identidade clássica do produto vetorial em “forma BAC–CAB”:
Aqui
é o produto escalar usual
. Expliquei como cada peça surge das contrações com
.
Passo 5
Agora usamos a fórmula obtida para cada termo do somatório pedido. Aplicando-a ciclicamente:
Somando as três expressões:
Agora usamos que o produto escalar é comutativo:
e
, etc. Reagrupando por vetores
vemos que os coeficientes se cancelam par a par:
- Coeficientes de
: . - Coeficientes de
: . - Coeficientes de
: .
Portanto toda a soma é o vetor nulo: