Verifique que as derivadas parciais mistas são iguais para
Passo 1
O enunciado pede que se verifique que as derivadas parciais mistas são iguais para a função
Informações dadas:
- A função é
. - A tarefa é comparar
e e verificar que são iguais.
Passo 2
Breve revisão das regras de diferenciação que vou usar (explicação didática e passo a passo).
- Derivada parcial: ao calcular
tratamos como constante; ao calcular tratamos como constante. - Regra do produto: para funções
e de uma variável, . Em derivadas parciais aplica-se do mesmo jeito quando uma das variáveis é vista como variável e a outra como constante. - Regra da cadeia: se
, então . Em parciais, ao derivar em relação a ou usa-se a cadeia com .
Passo 3
Calcular a primeira derivada parcial em relação a
:
.
- Para o termo
: é constante quando derivamos em , então
- Para o termo
: aplicar a regra da cadeia. A derivada de é . Aqui , e . Logo
Somando os dois resultados,
Passo 4
Calcular a derivada mista
.
Partimos de .
Partimos de
- Derivando
em relação a : é constante aqui, e . Assim
- Derivando
em relação a : usar regra do produto com e . -
. - Para
usar regra da cadeia: . - Então, pela regra do produto,
-
Somando as partes,
Passo 5
Calcular a primeira derivada parcial em relação a
:
.
- Para
: é constante ao derivar em , e , logo
- Para
: aplicar a regra da cadeia. , então
Portanto
Passo 6
Calcular a derivada mista
.
Partimos de .
Partimos de
- Derivando
em relação a : é constante aqui, e . Então
- Derivando
em relação a : usar regra do produto com e . -
. - Para
usar regra da cadeia: . - Pela regra do produto,
-
Somando as partes,
Passo 7
Comparação e justificativa final.
- Observa-se que as duas derivadas mistas calculadas são idênticas:
e
- Além do cálculo explícito, nota-se que
é soma de um polinômio e de . Polinômios e funções trigonométricas compostas com têm derivadas parciais de todas as ordens contínuas em todo . Assim, pelas condições do teorema de igualdade das derivadas parciais mistas (teorema de Clairaut/Schwarz), as derivadas mistas são esperadas iguais; o cálculo confirma isso.