Verifique que as derivadas parciais mistas são iguais para
f(x, y)=x^{3} y^{2}+\sin (x y)

Passo 1

O enunciado pede que se verifique que as derivadas parciais mistas são iguais para a função
f(x,y)=x^{3}y^{2}+\sin(xy).
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=x^{3}y^{2}+\sin(xy).
  • A tarefa é comparar \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} e verificar que são iguais.

Passo 2

Breve revisão das regras de diferenciação que vou usar (explicação didática e passo a passo).
  • Derivada parcial: ao calcular \dfrac{\partial}{\partial x} tratamos y como constante; ao calcular \dfrac{\partial}{\partial y} tratamos x como constante.
  • Regra do produto: para funções u e v de uma variável, \dfrac{d}{dt}(u v)=u'\,v+u\,v'. Em derivadas parciais aplica-se do mesmo jeito quando uma das variáveis é vista como variável e a outra como constante.
  • Regra da cadeia: se g(t)=\sin(h(t)), então g'(t)=\cos(h(t))\cdot h'(t). Em parciais, ao derivar \sin(xy) em relação a x ou y usa-se a cadeia com h(x,y)=xy.

Passo 3

Calcular a primeira derivada parcial em relação a x: \dfrac{\partial f}{\partial x}.
  • Para o termo x^{3}y^{2}: y^{2} é constante quando derivamos em x, então
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}y^{2}\bigr)=3x^{2}y^{2}.
  • Para o termo \sin(xy): aplicar a regra da cadeia. A derivada de \sin(u) é \cos(u)\cdot u'. Aqui u=xy, e \dfrac{\partial}{\partial x}(xy)=y. Logo
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\sin(xy)\bigr)=\cos(xy)\cdot y.
Somando os dois resultados,
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y^{2}+y\cos(xy).

Passo 4

Calcular a derivada mista \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right).
Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y^{2}+y\cos(xy).
  • Derivando 3x^{2}y^{2} em relação a y: 3x^{2} é constante aqui, e \dfrac{d}{dy}(y^{2})=2y. Assim
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y^{2}\bigr)=3x^{2}\cdot 2y=6x^{2}y.
  • Derivando y\cos(xy) em relação a y: usar regra do produto com u(y)=y e v(y)=\cos(xy).
    • u'(y)=1.
    • Para v'(y) usar regra da cadeia: \dfrac{\partial}{\partial y}\cos(xy)=-\sin(xy)\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}(xy)=-\sin(xy)\cdot x.
    • Então, pela regra do produto,
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\cos(xy)\bigr)=1\cdot\cos(xy)+y\cdot\bigl(-x\sin(xy)\bigr)=\cos(xy)-xy\sin(xy).
Somando as partes,
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=6x^{2}y+\cos(xy)-xy\sin(xy).

Passo 5

Calcular a primeira derivada parcial em relação a y: \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Para x^{3}y^{2}: x^{3} é constante ao derivar em y, e \dfrac{d}{dy}(y^{2})=2y, logo
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}y^{2}\bigr)=x^{3}\cdot 2y=2x^{3}y.
  • Para \sin(xy): aplicar a regra da cadeia. \dfrac{\partial}{\partial y}(xy)=x, então
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\sin(xy)\bigr)=\cos(xy)\cdot x.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=2x^{3}y+x\cos(xy).

Passo 6

Calcular a derivada mista \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right).
Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial y}=2x^{3}y+x\cos(xy).
  • Derivando 2x^{3}y em relação a x: y é constante aqui, e \dfrac{d}{dx}(2x^{3})=6x^{2}. Então
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{3}y\bigr)=6x^{2}y.
  • Derivando x\cos(xy) em relação a x: usar regra do produto com u(x)=x e v(x)=\cos(xy).
    • u'(x)=1.
    • Para v'(x) usar regra da cadeia: \dfrac{\partial}{\partial x}\cos(xy)=-\sin(xy)\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}(xy)=-\sin(xy)\cdot y.
    • Pela regra do produto,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\cos(xy)\bigr)=1\cdot\cos(xy)+x\cdot\bigl(-y\sin(xy)\bigr)=\cos(xy)-xy\sin(xy).
Somando as partes,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=6x^{2}y+\cos(xy)-xy\sin(xy).

Passo 7

Comparação e justificativa final.
  • Observa-se que as duas derivadas mistas calculadas são idênticas:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=6x^{2}y+\cos(xy)-xy\sin(xy)
e
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=6x^{2}y+\cos(xy)-xy\sin(xy).
  • Além do cálculo explícito, nota-se que f é soma de um polinômio x^{3}y^{2} e de \sin(xy). Polinômios e funções trigonométricas compostas com xy têm derivadas parciais de todas as ordens contínuas em todo \mathbb{R}^{2}. Assim, pelas condições do teorema de igualdade das derivadas parciais mistas (teorema de Clairaut/Schwarz), as derivadas mistas são esperadas iguais; o cálculo confirma isso.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=6x^{2}y+\cos(xy)-xy\sin(xy)

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