Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(x, y)=ln (1+sin ^2(x^2 y^3))

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=lnl(1+sin^2(x^2y^3)r)
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para derivadas compostas: primeiro derivamos o logaritmo, depois a função quadrática de seno e por fim o argumento interno x^2y^3.

Passo 2

Definimos duas funções intermediárias para aplicar a cadeia de forma organizada:
U(x,y)=1+sin^2(v), v(x,y)=x^2y^3,
de modo que f(x,y)=lnl(U(x,y)r). Pela regra da cadeia,
partial fpartial x=1U,partial Upartial x, partial fpartial y=1U,partial Upartial y

Passo 3

Calculando partial U/partial x:
primeiro, sin^2(v) em relação a v 2sin(v)cos(v), e depois
partial vpartial x =partialpartial x(x^2y^3) =2x,y^3
Logo
partial Upartial x =2sin(v)cos(v)cdot2x,y^3 =4x,y^3sin(v)cos(v) =2x,y^3sinl(2vr)
Assim
partial fpartial x =2x,y^3sinl(2x^2y^3r)1+sin^2l(x^2y^3r)

Passo 4

Calculando partial U/partial y:
temos
partial vpartial y =partialpartial y(x^2y^3) =3x^2,y^2,
logo
partial Upartial y =2sin(v)cos(v)cdot3x^2y^2 =6x^2y^2sin(v)cos(v) =3x^2y^2sinl(2vr),
e portanto
partial fpartial y =3x^2y^2sinl(2x^2y^3r)1+sin^2l(x^2y^3r)

Resposta

partial fpartial x(x,y) =2x,y^3,sinl(2x^2y^3r)1+sin^2l(x^2y^3r), partial fpartial y(x,y) =3x^2y^2,sinl(2x^2y^3r)1+sin^2l(x^2y^3r)

Exercícios relacionados