Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(x, y)=e^-x sin ^2(x+y)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=e^-x,sin^2(x+y)
O que vamos usar é:
– Para partial fpartial x, o produto u(x),v(x,y) com u=e^-x e v=sin^2(x+y), aplicando a regra do produto e a regra da cadeia.
– Para partial fpartial y, tratamos e^-x como constante e aplicamos a regra da cadeia em sin^2(x+y).

Passo 2

Calculemos partial fpartial x.
Definimos
u(x)=e^-x, v(x,y)=sin^2(x+y)
Então
u'(x)=-e^-x,
e, pela regra da cadeia em v,
partial vpartial x =2,sin(x+y),cos(x+y),partial (x+y)partial x =2,sin(x+y),cos(x+y)
Pela regra do produto,
partial fpartial x = u',v + u,partial vpartial x = -e^-x,sin^2(x+y) +e^-x,l(2,sin(x+y),cos(x+y)r)
Podemos usar sin2theta=2sinthetacostheta para reescrever:
boxedpartial fpartial x =e^-xl(-sin^2(x+y)+sinl(2(x+y)r)r)

Passo 3

Agora partial fpartial y.
Como e^-x não depende de y, temos
partial fpartial y =e^-x,partialpartial yl(sin^2(x+y)r) =e^-x,2,sin(x+y),cos(x+y),partial (x+y)partial y
Como partial(x+y)/partial y=1, fica
partial fpartial y =2,e^-x,sin(x+y),cos(x+y) =e^-x,sinl(2(x+y)r)
Portanto,
boxedpartial fpartial y =e^-x,sinl(2(x+y)r)

Resposta

partial fpartial x =e^-xl(-sin^2(x+y)+sinl(2(x+y)r)r), partial fpartial y =e^-x,sinl(2(x+y)r)

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