Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(x, y)=x^2 y-x y^2x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=x^2y - x y^2x^2+y^2
O conteúdo aqui é derivadas parciais e vamos usar a regra do quociente: se f(x,y)=u(x,y)v(x,y), então
partial fpartial x =v,partial upartial x-u,partial vpartial xv^2, partial fpartial y =v,partial upartial y-u,partial vpartial yv^2

Passo 2

Identificamos
u(x,y)=x^2y - x y^2, v(x,y)=x^2+y^2
Calculamos as derivadas parciais de u e v em relação a x:
partial upartial x =2x,y - y^2, partial vpartial x =2x

Passo 3

Aplicando a regra do quociente para partial fpartial x:
partial fpartial x =(x^2+y^2)(2xy - y^2) - (x^2y - x y^2),(2x)(x^2+y^2)^2
Agora simplificamos o numerador:
(x^2+y^2)(2xy - y^2) =2x^3y - x^2y^2 +2xy^3 - y^4,
2x,(x^2y - x y^2) =2x^3y -2x^2y^2,
subtraindo dá
2x^3y - x^2y^2 +2xy^3 - y^4 - l(2x^3y -2x^2y^2r) = x^2y^2 +2xy^3 - y^4
Portanto
partial fpartial x =x^2y^2 +2xy^3 - y^4(x^2+y^2)^2

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais de u e v em relação a y:
partial upartial y =x^2 -2x,y, partial vpartial y =2y

Passo 5

Aplicando a regra do quociente para partial fpartial y:
partial fpartial y =(x^2+y^2)(x^2 -2xy) - (x^2y - x y^2),(2y)(x^2+y^2)^2
Simplificando o numerador:
(x^2+y^2)(x^2 -2xy) =x^4 -2x^3y + x^2y^2 -2xy^3,
2y,(x^2y - x y^2) =2x^2y^2 -2xy^3,
subtraindo dá
x^4 -2x^3y + x^2y^2 -2xy^3 - l(2x^2y^2 -2xy^3r) = x^4 -2x^3y - x^2y^2
Logo
partial fpartial y =x^4 -2x^3y - x^2y^2(x^2+y^2)^2

Resposta

partial fpartial x =x^2y^2 +2xy^3 - y^4(x^2+y^2)^2, partial fpartial y =x^4 -2x^3y - x^2y^2(x^2+y^2)^2

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