Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
(b) g(x, y)=x^2 ln (1+x^2+y^2)+cos (2 x y);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo multivariável! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função dada:
g(x, y) = x^2 ln (1 + x^2 + y^2) + cos(2xy)
Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais, usando regras como a do produto, a cadeia e conhecendo as derivadas básicas de funções logarítmicas e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ g(x, y) $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial x} $.
A função $ g(x, y) $ tem duas partes:
  1. $ x^{2} \ln \left(1 + x^{2} + y^{2}\right) $
  2. $ \cos(2xy) $
Vamos derivar cada parte separadamente em relação a $ x $.

Passo 3

Começando com a primeira parte: $ x^{2} \ln \left(1 + x^{2} + y^{2}\right) $
Aqui, temos um produto de duas funções de $ x $: $ x^{2} $ e $ \ln \left(1 + x^{2} + y^{2}\right) $. Para derivar esse produto, vamos usar a regra do produto, que diz:
x^2 ln (1 + x^2 + y^2)
Onde $ u = x^{2} $ e $ v = \ln \left(1 + x^{2} + y^{2}\right) $.
Primeiro, derivamos $ u $:
x
Depois, derivamos $ v $. Para isso, usamos a regra da cadeia:
x^2
Agora aplicamos a regra do produto:
ln (1 + x^2 + y^2)
Simplificando:
ddx[u cdot v] = u' cdot v + u cdot v'

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda parte: $ \cos(2xy) $
Aqui, temos uma função trigonométrica composta de $ 2xy $. Para derivar $ \cos(2xy) $ em relação a $ x $, usamos a regra da cadeia novamente.
A derivada de $ \cos(u) $ em relação a $ u $ é $ -\sin(u) $, e a derivada de $ u = 2xy $ em relação a $ x $ é $ 2y $.
Então:
cos(2xy)

Passo 5

Agora, juntando as duas partes derivadas, temos a derivada parcial de $ g(x, y) $ em relação a $ x $:
g(x, y)

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ g(x, y) $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial y} $.
Novamente, vamos derivar cada parte da função separadamente em relação a $ y $.

Passo 7

Começando com a primeira parte: $ x^{2} \ln \left(1 + x^{2} + y^{2}\right) $
Aqui, $ x^{2} $ é tratado como uma constante em relação a $ y $. Então, derivamos apenas a função logarítmica.
Usando a regra da cadeia:
x^2 ln (1 + x^2 + y^2)
Multiplicando por $ x^{2} $:
x^2

Passo 8

Agora, derivamos a segunda parte: $ \cos(2xy) $
Usando a regra da cadeia novamente:
A derivada de $ \cos(u) $ em relação a $ u $ é $ -\sin(u) $, e a derivada de $ u = 2xy $ em relação a $ y $ é $ 2x $.
Então:
cos(2xy)

Passo 9

Juntando as duas partes derivadas, temos a derivada parcial de $ g(x, y) $ em relação a $ y $:
g(x, y)

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função $ g(x, y) $ são:
g(x, y)
e
partial gpartial x = 2x ln(1 + x^2 + y^2) + 2x^31 + x^2 + y^2 - 2y sin(2xy)

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