Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
(b)
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(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo multivariável! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função dada:
Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais, usando regras como a do produto, a cadeia e conhecendo as derivadas básicas de funções logarítmicas e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ g(x, y) $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial x} $.
A função $ g(x, y) $ tem duas partes:
- $ x^{2} \ln \left(1 + x^{2} + y^{2}\right) $
- $ \cos(2xy) $
Vamos derivar cada parte separadamente em relação a $ x $.
Passo 3
Começando com a primeira parte: $ x^{2} \ln \left(1 + x^{2} + y^{2}\right) $
Aqui, temos um produto de duas funções de $ x $: $ x^{2} $ e $ \ln \left(1 + x^{2} + y^{2}\right) $. Para derivar esse produto, vamos usar a regra do produto, que diz:
Onde $ u = x^{2} $ e $ v = \ln \left(1 + x^{2} + y^{2}\right) $.
Primeiro, derivamos $ u $:
Depois, derivamos $ v $. Para isso, usamos a regra da cadeia:
Agora aplicamos a regra do produto:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos derivar a segunda parte: $ \cos(2xy) $
Aqui, temos uma função trigonométrica composta de $ 2xy $. Para derivar $ \cos(2xy) $ em relação a $ x $, usamos a regra da cadeia novamente.
A derivada de $ \cos(u) $ em relação a $ u $ é $ -\sin(u) $, e a derivada de $ u = 2xy $ em relação a $ x $ é $ 2y $.
Então:
Passo 5
Agora, juntando as duas partes derivadas, temos a derivada parcial de $ g(x, y) $ em relação a $ x $:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ g(x, y) $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial y} $.
Novamente, vamos derivar cada parte da função separadamente em relação a $ y $.
Passo 7
Começando com a primeira parte: $ x^{2} \ln \left(1 + x^{2} + y^{2}\right) $
Aqui, $ x^{2} $ é tratado como uma constante em relação a $ y $. Então, derivamos apenas a função logarítmica.
Usando a regra da cadeia:
Multiplicando por $ x^{2} $:
Passo 8
Agora, derivamos a segunda parte: $ \cos(2xy) $
Usando a regra da cadeia novamente:
A derivada de $ \cos(u) $ em relação a $ u $ é $ -\sin(u) $, e a derivada de $ u = 2xy $ em relação a $ y $ é $ 2x $.
Então:
Passo 9
Juntando as duas partes derivadas, temos a derivada parcial de $ g(x, y) $ em relação a $ y $:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ g(x, y) $ são:
e