Encontre uma solução em séries de potências em (Você deve encontrar a relação de recorrência e calcular os 5 primeiros coeficientes da solução).

Passo 1

O enunciado pede uma solução em séries de potências centrada em t0=0 para a equação
l(t^2+1r)y''+2t,y'=0,
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1. Vamos assumir
uma série y=sumn=0^inftyan t^n e encontrar a relação de recorrência entre os an, depois calcular os cinco primeiros coeficientes.

Passo 2

Assumimos
y(t)=sumn=0^inftyan t^n, y'(t)=sumn=1^inftyn,an t^n-1, y''(t)=sumn=2^inftyn(n-1),an t^n-2

Passo 3

Substituindo na equação:
(1+t^2)sumn=2^infty n(n-1)an t^n-2 +2tsumn=1^infty n,an t^n-1=0
Isso dá
sumn=2^infty n(n-1)an t^n-2 +sumn=2^infty n(n-1)an t^n +2sumn=1^infty n,an t^n=0
Reindexando o primeiro somatório com k=n-2 e juntando os termos em t^n, obtemos para todo n>=0:
(n+2)(n+1)an+2+n(n+1)an=0

Passo 4

Isolando an+2, a relação de recorrência é
an+2=-nn+2,an, n>=0

Passo 5

Pelas condições iniciais temos a0=y(0)=0 e a1=y'(0)=1. A partir da recorrência:
a2=-02a0=0, a3=-13a1=-13, a4=-24a2=0
Assim, os cinco primeiros coeficientes são
a0=0,; a1=1,; a2=0,; a3=-tfrac13,; a4=0

Resposta

Relação de recorrência:
an+2=-nn+2,an, n>=0
Coeficientes:
a0=0,; a1=1,; a2=0,; a3=-tfrac13,; a4=0

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