Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções: w=(x^2+y^2+z^2)^52

Passo 1

A função dada é w=(x^2+y^2+z^2)^5/2 e o objetivo é calcular as derivadas parciais de primeira ordem partial w/partial x, partial w/partial y e partial w/partial z. Vamos precisar da regra da cadeia e da derivada de potência.

Passo 2

Para simplificar, definimos a função interna u = x^2 + y^2 + z^2, de modo que w = u^5/2. Pela regra da cadeia, temos:

Passo 3

Calculamos as derivadas de u em cada variável e substituímos na expressão da regra da cadeia:

Passo 4

As contas dão as seguintes derivadas parciais:

Resposta

[\frac{\partial w}{\partial x} = 5x,(x2+y2+z2){3/2}, \quad \frac{\partial w}{\partial y} = 5y,(x2+y2+z2){3/2}, \quad \frac{\partial w}{\partial z} = 5z,(x2+y2+z2){3/2}.]

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