Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções: w=e^xy sen(4 y^2 z^3)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de w = e^x/ysin(4y^2z^3). O conteúdo envolvido é derivadas parciais de funções de várias variáveis, e vamos precisar da regra do produto, da regra da cadeia e das derivadas de exponencial e seno.

Passo 2

Para partial w/partial x: como y e z são constantes, aplicamos a derivada de e^x/y em relação a x. Sabendo que ddxe^x/y=1ye^x/y, temos
partial wpartial x = 1ye^x/ysin(4y^2z^3)

Passo 3

Para partial w/partial y: usamos a regra do produto em w = Acdot B, com A=e^x/y e B=sin(4y^2z^3). Primeiro,
partial Apartial y = e^x/ycdot ddy(x/y) = -xy^2e^x/y
Depois,
partial Bpartial y = cos(4y^2z^3)cdot ddy(4y^2z^3) = 8yz^3cos(4y^2z^3)
Assim,
partial wpartial y = -xy^2e^x/ysin(4y^2z^3) + 8yz^3e^x/ycos(4y^2z^3)

Passo 4

Para partial w/partial z: tratamos x e y como constantes e derivamos apenas sin(4y^2z^3). Como ddzsin(u)=cos(u)u' e u=4y^2z^3 tem u'=12y^2z^2, obtemos
partial wpartial z = e^x/ycdot 12y^2z^2cos(4y^2z^3)

Resposta

partial wpartial x = 1ye^x/ysin(4y^2z^3), partial wpartial y = -xy^2e^x/ysin(4y^2z^3) + 8yz^3e^x/ycos(4y^2z^3), partial wpartial z = 12y^2z^2e^x/ycos(4y^2z^3)

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