Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções: z=ln (raizx^2-y^2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função z = lnl(raizx^2 - y^2r). O conteúdo envolvido é derivadas parciais e uso da regra da cadeia para funções compostas. Vamos aplicar propriedades de logaritmo e a diferenciação de funções quadráticas.

Passo 2

Usamos a propriedade do logaritmo: ln(raizu) = ln(u^1/2) = tfrac12ln(u). Aplicando em u = x^2 - y^2, obtemos
z = tfrac12ln(x^2 - y^2)

Passo 3

Para calcular partial zpartial x, aplicamos a regra da cadeia. Primeiro, derivamos ln(x^2 - y^2):
ddxl[ln(x^2 - y^2)r] = 2xx^2 - y^2
Multiplicando pelo tfrac12 que está em z, temos
partial zpartial x = tfrac12 cdot 2xx^2 - y^2 = xx^2 - y^2

Passo 4

Para calcular partial zpartial y, repetimos o procedimento: primeiro a derivada de ln(x^2 - y^2) em relação a y:
ddyl[ln(x^2 - y^2)r] = -2yx^2 - y^2
Multiplicando pelo tfrac12 de z resulta em
partial zpartial y = tfrac12 cdot -2yx^2 - y^2 = -yx^2 - y^2

Resposta

partial zpartial x = xx^2 - y^2, partial zpartial y = -yx^2 - y^2

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