Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
z=x e^xy

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função z = x,e^xy. O conteúdo aqui é derivada parcial, e vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para funções que dependem de x e y.

Passo 2

Para obter partial zpartial x, note que z é produto de u(x,y)=x e v(x,y)=e^x/y. Aplicando a regra do produto temos
partial zpartial x=partial upartial x,v + u,partial vpartial x

Passo 3

Calculamos cada termo:
  • partial upartial x=1
  • Para partial vpartial x, usamos a regra da cadeia:
v=e^x/y, partial vpartial x=e^x/ycdotpartialpartial xl(xyr)=e^x/ycdot1y

Passo 4

Substituindo em partial z/partial x:
partial zpartial x=1cdot e^x/y+xcdotl(e^x/y1yr)=e^x/yl(1+xyr)

Passo 5

Para obter partial zpartial y, tratamos x como constante e derivamos e^x/y em relação a y. Assim
partial zpartial y=xcdotpartialpartial yl(e^x/yr)

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia em e^x/y:
partialpartial yl(e^x/yr)=e^x/ycdotpartialpartial yl(xyr)=e^x/ycdotl(-xy^2r)

Passo 7

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partial zpartial y=xcdot e^x/yl(-xy^2r)=-x^2y^2e^x/y

Resposta

partial zpartial x=e^x/yl(1+xyr), partial zpartial y=-x^2y^2e^x/y

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