2^ a Questão Verifique, justificando, quais das funções abaixo, saisfazem o Teorema de Rolle, no intervalo dado, e em caso afirmativo, determine o(s) valores da(s) constante(s) existente(s) dada pelo teorema.
ga(x)=x^3+3 x^2 em [-2,1]

Passo 1

Temos a função ga(x)=x^3+3x^2 no intervalo [-2,1]. O conteúdo aqui é o Teorema de Rolle, que diz que se uma função for contínua em [a,b], derivável em (a,b) e f(a)=f(b), então existe ao menos um cin(a,b) tal que f'(c)=0. Vamos verificar essas hipóteses e, caso ocorram, achar o(s) valor(es) de c.

Passo 2

Funções polinomiais são contínuas em todo R, logo ga(x) é contínua em [-2,1].
Funções polinomiais também são deriváveis em todo R, logo ga(x) é derivável em (-2,1).

Passo 3

Calculamos ga(-2) e ga(1):
ga(-2)=(-2)^3+3(-2)^2=-8+12=4,
ga(1)=1^3+3cdot1^2=1+3=4
Como ga(-2)=ga(1), a terceira hipótese do Teorema de Rolle está satisfeita.

Passo 4

Agora achamos a derivada e resolvemos ga'(x)=0:
ga'(x)=3x^2+6x=3x(x+2)
As raízes são x=0 e x=-2. Como o Teorema exige cin(-2,1), descartamos -2 e ficamos com c=0.

Resposta

O Teorema de Rolle se aplica e o valor garantido é c=0.

Exercícios relacionados