Use o recurso de completar quadrados para resolver a equação
. Esboce do gráfico de
.
Determine a inversa de
(se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio da função).
Passo 1
Temos a função
. O enunciado pede para resolver
usando completar quadrado, esboçar o gráfico de
e depois encontrar a inversa, restringindo domínio e contradomínio se necessário. Vamos precisar de completar quadrado, propriedades de parábolas e conceitos de funções inversas.
Passo 2
Para completar o quadrado em
, acrescentamos e subtraímos
:
Passo 3
Agora resolvemos
usando o resultado acima. Igualamos:
Isso dá
Logo
Passo 4
Para esboçar o gráfico de
, note que é uma parábola com coeficiente positivo. O vértice vem de completar quadrado: está em
. Os zeros são
e
. O eixo de simetria é
e o valor mínimo é
.
Passo 5
Para achar a inversa, escrevemos
, trocamos
e
e resolvemos para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como a parábola não é bijetora no domínio todo, restringimos o domínio para
, onde
é crescente e o contradomínio para
. Nesse ramo, escolhemos o sinal
e obtemos
Resposta
As raízes de
são
e
. O gráfico de
é uma parábola com vértice em
, zeros em
e
, e abre para cima. Restrita a
com contradomínio
, sua inversa é