Use o recurso de completar quadrados para resolver a equação f(x)=0. Esboce do gráfico de y=f(x).
Determine a inversa de f(x) (se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio da função).
f(x)=x^2-x

Passo 1

Temos a função f(x)=x^2 - x. O enunciado pede para resolver f(x)=0 usando completar quadrado, esboçar o gráfico de y=f(x) e depois encontrar a inversa, restringindo domínio e contradomínio se necessário. Vamos precisar de completar quadrado, propriedades de parábolas e conceitos de funções inversas.

Passo 2

Para completar o quadrado em x^2 - x, acrescentamos e subtraímos tfrac14:
x^2 - x = x^2 - x + 14 - 14 = l(x - 12r)^2 - 14

Passo 3

Agora resolvemos f(x)=0 usando o resultado acima. Igualamos:
l(x - 12r)^2 - 14 = 0
Isso dá
l(x - 12r)^2 = 14
Logo
x - 12 = pm12implies x=1 ou x=0

Passo 4

Para esboçar o gráfico de y=f(x)=x^2 - x, note que é uma parábola com coeficiente positivo. O vértice vem de completar quadrado: está em l(tfrac12,-tfrac14r). Os zeros são (0,0) e (1,0). O eixo de simetria é x=tfrac12 e o valor mínimo é -tfrac14.

Passo 5

Para achar a inversa, escrevemos y=x^2-x, trocamos x e y e resolvemos para y:
x = y^2 - y Longrightarrow y^2 - y - x = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
y = 1 pm raiz1 + 4x2
Como a parábola não é bijetora no domínio todo, restringimos o domínio para [tfrac12,infty), onde f é crescente e o contradomínio para [ -tfrac14,infty ). Nesse ramo, escolhemos o sinal + e obtemos
f^-1(x)=1 + raiz1+4x2, x>= -tfrac14

Resposta

As raízes de f(x)=0 são x=0 e x=1. O gráfico de y=f(x) é uma parábola com vértice em (tfrac12,-tfrac14), zeros em (0,0) e (1,0), e abre para cima. Restrita a [tfrac12,infty) com contradomínio [ -tfrac14,infty ), sua inversa é
f^-1(x)=1+raiz1+4x2

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