Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
f(x, y)=x+yx-y, x neq y;

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=x+yx-y, xneq y
O conteúdo necessário é o uso da regra do quociente para derivadas, lembrando que, ao diferenciar em relação a x, tratamos y como constante, e vice-versa.

Passo 2

Vamos achar partial fpartial x. Defina
u(x,y)=x+y, v(x,y)=x-y,
então por regra do quociente
partialpartial xl(uvr) =ux,v - u,vxv^2
Aqui ux=1 e vx=1. Logo,
partial fpartial x =1cdot(x-y)-(x+y)cdot1(x-y)^2 =x-y-x-y(x-y)^2 =-2y(x-y)^2

Passo 3

Agora partial fpartial y. Pela mesma ideia,
uy=1, vy=-1,
então
partial fpartial y =1cdot(x-y)-(x+y)cdot(-1)(x-y)^2 =x-y + x+y(x-y)^2 =2x(x-y)^2

Resposta

partial fpartial x=-2y(x-y)^2, partial fpartial y=2x(x-y)^2

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