Verifique se a função dada a seguir é contínua em (0,0) :
f(x, y)=l xx^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0 se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracxx^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede para verificar a continuidade em (0,0). Para isso, vamos usar a definição: f é contínua em (0,0) se e somente se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
]

Passo 2

Segundo a definição de limite em múltiplas variáveis, precisamos checar se, ao aproximarmos (x,y) de (0,0) por qualquer caminho, o valor de f(x,y) tende a 0. Se existir ao menos um caminho em que o limite não seja 0 ou não exista, concluímos que f não é contínua em (0,0).

Passo 3

Considere a aproximação pela reta y=0. Neste caso, para xneq0 temos
f(x,0)=xx^2+0^2=xx^2=1x
Quando xto0, o valor tfrac1x não tende a zero (na verdade diverge para pminfty). Logo
limxto0f(x,0)não existe (e certamente não é 0) ããé

Passo 4

Como ao menos em um caminho (no caso y=0) o limite de f(x,y) não se aproxima de 0, o limite lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe ou não é igual a f(0,0). Portanto, f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função não é contínua em (0,0).

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