Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
f(x, y)=\tan (x y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=\tan(xy).
O conteúdo aqui é a regra da cadeia aplicada a funções de duas variáveis: sabemos que, se f(u)=\tan(u) e u=u(x,y), então
\frac{\partial f}{\partial x} = f'(u)\,\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = f'(u)\,\frac{\partial u}{\partial y}.
No nosso caso, u(x,y)=xy.

Passo 2

Para obter \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, vemos u=xy como função de x (com y constante). Então
\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(xy) =y
e, como
\frac{d}{du}\bigl(\tan u\bigr)=\operatorname{sec}^2u,
aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} =\operatorname{sec}^2(xy)\,\frac{\partial (xy)}{\partial x} =\operatorname{sec}^2(xy)\,y.

Passo 3

Para obter \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, vemos u=xy como função de y (com x constante). Então
\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(xy) =x
e, pela mesma regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y} =\operatorname{sec}^2(xy)\,\frac{\partial (xy)}{\partial y} =\operatorname{sec}^2(xy)\,x.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\operatorname{sec}^2(xy)\,y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\operatorname{sec}^2(xy)\,x.

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