Prove que a equação x sen x=100 tem um número infinito de soluções.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação xsin x=100 tem infinitas soluções. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Intermediário, que diz que uma função contínua num intervalo que assume valores abaixo e acima de um número L também assume esse valor L em algum ponto interno.

Passo 2

Definimos a função f(x)=xsin x. Sabemos que sin x é contínua em R e que a função identidade xmapsto x também é contínua. Logo, o produto f(x)=xcdotsin x é contínuo em R.

Passo 3

Para explorar infinitas soluções, vamos olhar o comportamento de f(x) em torno dos máximos locais de sin x. Para cada inteiro k>=0, definimos:
ak=pi2+2pi k, bk=pi+2pi k
Então
f(ak)=akcdotsin(ak)=ak>100para todo k grande o suficiente,
isto é, a partir de
k>= K:=llceil100-pi/22pirrceil
temos f(ak)>100. Por outro lado,
f(bk)=bkcdotsin(bk)=bkcdot0=0<100

Passo 4

Como f é contínua, no intervalo [ak,bk] ela passa de um valor acima de 100 em ak para um valor abaixo de 100 em bk. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe ao menos um ckin(ak,bk) tal que
f(ck)=100

Passo 5

Como podemos repetir esse argumento para todo inteiro k>= K, obtemos uma solução ck distinta para cada k. Logo, há infinitamente muitas soluções de xsin x=100.

Resposta

A equação xsin x=100 possui infinitas soluções, uma em cada intervalo [tfracpi2+2pi k,,pi+2pi k] para todo k suficientemente grande.

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