Prove que a equação
sen
tem um número infinito de soluções.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
tem infinitas soluções. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Intermediário, que diz que uma função contínua num intervalo que assume valores abaixo e acima de um número
também assume esse valor
em algum ponto interno.
Passo 2
Definimos a função
. Sabemos que
é contínua em
e que a função identidade
também é contínua. Logo, o produto
é contínuo em
.
Passo 3
Para explorar infinitas soluções, vamos olhar o comportamento de
em torno dos máximos locais de
. Para cada inteiro
, definimos:
Então
isto é, a partir de
temos
Passo 4
Como
é contínua, no intervalo
ela passa de um valor acima de 100 em
para um valor abaixo de 100 em
. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe ao menos um
tal que
Passo 5
Como podemos repetir esse argumento para todo inteiro
, obtemos uma solução
distinta para cada
. Logo, há infinitamente muitas soluções de
.
Resposta
A equação
possui infinitas soluções, uma em cada intervalo
para todo
suficientemente grande.