Determine os pontos em que a reta \frac{x-3}{3}=\frac{y+2}{-6}=\frac{z-2}{4}=t corta o elipsóide \frac{x^{2}}{81}+\frac{y^{2}}{36}+\frac{z^{2}}{9}=1.

Passo 1

O enunciado dá uma reta na forma simétrica
\frac{x-3}{3}=\frac{y+2}{-6}=\frac{z-2}{4}=t
e um elipsóide
\frac{x^{2}}{81}+\frac{y^{2}}{36}+\frac{z^{2}}{9}=1.
O que é pedido: determinar os pontos de interseção entre essa reta e o elipsóide (ou seja, os pontos (x,y,z) que pertencem simultaneamente à reta e ao elipsóide).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A reta está dada implicitamente pelo parâmetro t.
  • O elipsóide é a superfície cujos pontos satisfazem a equação acima.
  • Deve-se encontrar todos os pontos (pode ser nenhum, um ou dois) em que a reta corta o elipsóide.

Passo 2

Passo inicial prático: escrever a reta em forma paramétrica (isso facilita a substituição na equação do elipsóide).
A partir de
\frac{x-3}{3}=\frac{y+2}{-6}=\frac{z-2}{4}=t,
temos as equações paramétricas
x=3+3t,\qquad y=-2-6t,\qquad z=2+4t.
Explicação rápida dessa ideia: parametrizar a reta significa expressar cada coordenada como uma função de um único parâmetro t. Qualquer ponto sobre a reta é obtido escolhendo um t e calculando (x,y,z) pelas fórmulas acima.

Passo 3

Agora substituímos essas expressões de x,y,z na equação do elipsóide para obter uma equação apenas em t. Essa equação dirá os valores de t que geram pontos da reta que também pertencem ao elipsóide.
Substituindo:
\frac{(3+3t)^{2}}{81}+\frac{(-2-6t)^{2}}{36}+\frac{(2+4t)^{2}}{9}=1.

Passo 4

Vamos expandir cada termo com calma, passo a passo.
Primeiro termo:
(3+3t)^{2}=9(1+2t+t^{2}),
logo
\frac{(3+3t)^{2}}{81}=\frac{9(1+2t+t^{2})}{81}=\frac{1}{9}(1+2t+t^{2}).
Segundo termo:
(-2-6t)^{2}=(2+6t)^{2}=4+24t+36t^{2},
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\frac{(-2-6t)^{2}}{36}=\frac{4+24t+36t^{2}}{36}=\frac{1}{9}+\frac{2}{3}t+t^{2}.
Terceiro termo:
(2+4t)^{2}=4+16t+16t^{2},
logo
\frac{(2+4t)^{2}}{9}=\frac{4+16t+16t^{2}}{9}=\frac{4}{9}+\frac{16}{9}t+\frac{16}{9}t^{2}.

Passo 5

Somando os três termos expandidos e igualando a 1:
Somando constantes:
\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{4}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}.
Somando coeficientes de t:
\frac{2}{9}+\frac{2}{3}+\frac{16}{9}=\frac{2}{9}+\frac{6}{9}+\frac{16}{9}=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}.
Somando coeficientes de t^{2}:
\frac{1}{9}+1+\frac{16}{9}=\frac{1}{9}+\frac{9}{9}+\frac{16}{9}=\frac{26}{9}.
Portanto a equação em t fica
\frac{26}{9}t^{2}+\frac{24}{9}t+\frac{6}{9}=1.
Multiplicando ambos os lados por 9 para limpar denominadores:
26t^{2}+24t+6=9.
Passando 9 para o lado esquerdo:
26t^{2}+24t-3=0.
Comentário: obtivemos uma equação quadrática em t. Cada raiz de t corresponde a um ponto de interseção (pode haver 0, 1 ou 2 raízes reais).

Passo 6

Resolvendo a quadrática \;26t^{2}+24t-3=0\; pelo discriminante.
Fórmula geral para raízes de at^{2}+bt+c=0 é
t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a=26,\; b=24,\; c=-3.
Calculamos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=24^{2}-4\cdot26\cdot(-3)=576+312=888.
Então as raízes são
t=\frac{-24\pm\sqrt{888}}{2\cdot26}=\frac{-24\pm 2\sqrt{222}}{52}=\frac{-12\pm\sqrt{222}}{26}.
Pequena explicação: o discriminante sendo positivo ( \Delta=888>0) indica duas raízes reais distintas, portanto a reta corta o elipsóide em dois pontos distintos.

Passo 7

Agora calculamos as coordenadas dos pontos correspondentes a cada valor de t.
Usamos as expressões paramétricas
x=3+3t,\qquad y=-2-6t,\qquad z=2+4t.
Seja s=\sqrt{222}. Para t=\dfrac{-12+s}{26} obtemos (substituindo cuidadosamente e colocando sobre denominador comum 26):
Cálculos (comum a ambos os sinais, só trocando s por \pm s):
x=3+3t= \frac{42\pm 3s}{26},
y=-2-6t= \frac{20\mp 6s}{26},
z=2+4t= \frac{4\pm 4s}{26}.
Observação sobre os sinais: ao usar + em t (isto é t=(-12+s)/26) aparece + no x e no z e aparece - no y; ao usar o sinal oposto em t os sinais nas componentes trocam de acordo (por isso escrevemos \pm e \mp com consistência).
Podemos reunir a forma vetorial conveniente:
(x,y,z)=\frac{1}{26}\bigl(42\pm 3\sqrt{222},\;20\mp 6\sqrt{222},\;4\pm 4\sqrt{222}\bigr).

Passo 8

Interpretação final: há exatamente dois pontos de interseção, dados pelas duas escolhas de sinal acima. Esses pontos estão escritos de forma exata (com raiz irracional), que é a forma adequada para resposta sem aproximação numérica.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{26}\bigl(42+3\sqrt{222},\;20-6\sqrt{222},\;4+4\sqrt{222}\bigr)
\displaystyle \frac{1}{26}\bigl(42-3\sqrt{222},\;20+6\sqrt{222},\;4-4\sqrt{222}\bigr)

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