Determine os pontos em que a reta
corta o elipsóide
.
Passo 1
O enunciado dá uma reta na forma simétrica
e um elipsóide
O que é pedido: determinar os pontos de interseção entre essa reta e o elipsóide (ou seja, os pontos
que pertencem simultaneamente à reta e ao elipsóide).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A reta está dada implicitamente pelo parâmetro
. - O elipsóide é a superfície cujos pontos satisfazem a equação acima.
- Deve-se encontrar todos os pontos (pode ser nenhum, um ou dois) em que a reta corta o elipsóide.
Passo 2
Passo inicial prático: escrever a reta em forma paramétrica (isso facilita a substituição na equação do elipsóide).
A partir de
temos as equações paramétricas
Explicação rápida dessa ideia: parametrizar a reta significa expressar cada coordenada como uma função de um único parâmetro
. Qualquer ponto sobre a reta é obtido escolhendo um
e calculando
pelas fórmulas acima.
Passo 3
Agora substituímos essas expressões de
na equação do elipsóide para obter uma equação apenas em
. Essa equação dirá os valores de
que geram pontos da reta que também pertencem ao elipsóide.
Substituindo:
Passo 4
Vamos expandir cada termo com calma, passo a passo.
Primeiro termo:
logo
Segundo termo:
logo
Terceiro termo:
logo
Passo 5
Somando os três termos expandidos e igualando a
:
Somando constantes:
Somando coeficientes de
:
Somando coeficientes de
:
Portanto a equação em
fica
Multiplicando ambos os lados por
para limpar denominadores:
Passando
para o lado esquerdo:
Comentário: obtivemos uma equação quadrática em
. Cada raiz de
corresponde a um ponto de interseção (pode haver 0, 1 ou 2 raízes reais).
Passo 6
Resolvendo a quadrática
pelo discriminante.
Fórmula geral para raízes de
é
onde
.
Calculamos o discriminante:
Então as raízes são
Pequena explicação: o discriminante sendo positivo (
) indica duas raízes reais distintas, portanto a reta corta o elipsóide em dois pontos distintos.
Passo 7
Agora calculamos as coordenadas dos pontos correspondentes a cada valor de
.
Usamos as expressões paramétricas
Seja
. Para
obtemos (substituindo cuidadosamente e colocando sobre denominador comum
):
Cálculos (comum a ambos os sinais, só trocando
por
):
Observação sobre os sinais: ao usar
em
(isto é
) aparece
no
e no
e aparece
no
; ao usar o sinal oposto em
os sinais nas componentes trocam de acordo (por isso escrevemos
e
com consistência).
Podemos reunir a forma vetorial conveniente:
Passo 8
Interpretação final: há exatamente dois pontos de interseção, dados pelas duas escolhas de sinal acima. Esses pontos estão escritos de forma exata (com raiz irracional), que é a forma adequada para resposta sem aproximação numérica.