Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem: f(x, y)=x^{2} y+y^{3}
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função f. A função dada é
f(x,y)=x^{2}y+y^{3}.
As perguntas implícitas são:
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Calcular as derivadas parciais de segunda ordem \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}.
Passo 2
O que é uma derivada parcial (explicação didática e amigável):
A derivada parcial de f em relação a x, denotada \dfrac{\partial f}{\partial x}, mede como f varia quando só x muda e y fica “congelado” (constante).
Analogamente, \dfrac{\partial f}{\partial y} mede a variação quando só y muda e x é tratado como constante.
Regra prática muito usada em provas: ao derivar em relação a uma variável, trate todas as outras como constantes.
Passo 3
Regra da diferenciação necessária (produto e soma):
Se g(x,y)=u(x,y)+v(x,y), então \dfrac{\partial g}{\partial x}=\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial v}{\partial x}.
Se uma parcela é produto u(x,y)\,v(x,y) e se deriva em relação a x, aplica-se a regra do produto:
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right) ou \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) (essa igualdade costuma valer quando as segundas parciais são contínuas, o que ocorre para polinômios).
Passo 7
Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}:
Já temos \dfrac{\partial f}{\partial x}=2xy.
Derivando em relação a x tratando y como constante: