Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
f(x, y)=x^{2} y+y^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função f. A função dada é
f(x,y)=x^{2}y+y^{3}.
As perguntas implícitas são:
  • Calcular as derivadas parciais de primeira ordem \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Calcular as derivadas parciais de segunda ordem \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}.

Passo 2

O que é uma derivada parcial (explicação didática e amigável):
  • A derivada parcial de f em relação a x, denotada \dfrac{\partial f}{\partial x}, mede como f varia quando só x muda e y fica “congelado” (constante).
  • Analogamente, \dfrac{\partial f}{\partial y} mede a variação quando só y muda e x é tratado como constante.
    Regra prática muito usada em provas: ao derivar em relação a uma variável, trate todas as outras como constantes.

Passo 3

Regra da diferenciação necessária (produto e soma):
  • Se g(x,y)=u(x,y)+v(x,y), então \dfrac{\partial g}{\partial x}=\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial v}{\partial x}.
  • Se uma parcela é produto u(x,y)\,v(x,y) e se deriva em relação a x, aplica-se a regra do produto:
\frac{\partial}{\partial x}\big(u v\big)=\frac{\partial u}{\partial x}v+u\frac{\partial v}{\partial x}.
No nosso caso, em muitas derivadas uma das funções será constante (por exemplo y quando derivamos em x), o que simplifica bastante.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} passo a passo:
  • Escrevendo f como soma: f(x,y)=\underbrace{x^{2}y}_{u}+\underbrace{y^{3}}_{v}.
  • Derivando a primeira parcela em relação a x: aqui y é tratado como constante, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}y\big)=y\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=y\cdot 2x=2xy.
  • Derivando a segunda parcela em relação a x: y^{3} é constante em x, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(y^{3}\big)=0.
  • Somando as partes:
\frac{\partial f}{\partial x}=2xy+0=2xy.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} passo a passo:
  • Novamente, f(x,y)=x^{2}y+y^{3}.
  • Derivando a primeira parcela em relação a y: agora x^{2} é constante, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y\big)=x^{2}\cdot\frac{d}{dy}\big(y\big)=x^{2}\cdot 1=x^{2}.
  • Derivando a segunda parcela em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{3}\big)=3y^{2}.
  • Somando as partes:
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}+3y^{2}.

Passo 6

O que são as derivadas parciais de segunda ordem (explicação breve):
  • As derivadas de segunda ordem obtêm-se derivando novamente as derivadas de primeira ordem.
  • Notação comum:
    • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right).
    • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right) ou \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) (essa igualdade costuma valer quando as segundas parciais são contínuas, o que ocorre para polinômios).

Passo 7

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}:
  • Já temos \dfrac{\partial f}{\partial x}=2xy.
  • Derivando em relação a x tratando y como constante:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\big(2xy\big)=2y.

Passo 8

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} (derivar \partial f/\partial x em relação a y):
  • Partindo de \dfrac{\partial f}{\partial x}=2xy.
  • Derivando em relação a y tratando x como constante:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\big(2xy\big)=2x.
(esta é uma das derivadas mistas; observe o resultado.)

Passo 9

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} (derivar \partial f/\partial y em relação a x) e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}:
  • Temos \dfrac{\partial f}{\partial y}=x^{2}+3y^{2}.
  • Derivando em relação a x:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}+3y^{2}\big)=2x+0=2x.
  • Derivando \dfrac{\partial f}{\partial y} em relação a y:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}+3y^{2}\big)=0+6y=6y.

Passo 10

Verificação e comentário final:
  • Observou-se que as derivadas mistas coincidem:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=2x=\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x},
o que está de acordo com o teorema de Clairaut (as segundas parciais são contínuas porque f é polinomial).
  • Dica prática para prova: trate sempre as outras variáveis como constantes; polinômios são os melhores amigos porque as derivadas são diretas.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2xy
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}+3y^{2}
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=2y
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=2x
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=2x
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=6y

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