Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo.
;
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de
O conteúdo aqui é diferenciação parcial e vamos usar a regra da cadeia e o produto/quotient rule. Note que o domínio é
, para evitar divisão por zero.
Passo 2
Escrevendo
, aplicamos a regra da cadeia:
para tratamos
como constante e obtemos
para
De modo análogo,
Passo 3
Agora calculamos as derivadas de segunda ordem. Primeiro note que
.
- Para
, usamos produto e regra da cadeia:
- Para
, é constante:
Pela igualdade das derivadas mistas de Clairaut, temos
.
3. Finalmente, para podemos repetir o passo 1 espelhando
e
, ou derivar
, resultando em
3. Finalmente, para