Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo.
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}};

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de
f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,.
O conteúdo aqui é diferenciação parcial e vamos usar a regra da cadeia e o produto/quotient rule. Note que o domínio é (x,y)\neq(0,0), para evitar divisão por zero.

Passo 2

Escrevendo f(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{1/2}, aplicamos a regra da cadeia:
para \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante e obtemos
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2x =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,.
De modo análogo,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem. Primeiro note que
\displaystyle f_{x}(x,y)=x\,(x^{2}+y^{2})^{-1/2}.
  1. Para \displaystyle f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(f_{x}), usamos produto e regra da cadeia:
f_{xx} =(x^{2}+y^{2})^{-1/2} + x\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)(x^{2}+y^{2})^{-3/2}\cdot2x =(x^{2}+y^{2})^{-1/2}-\frac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}} =\frac{y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.
  1. Para \displaystyle f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_{x}), x é constante:
f_{xy} =x\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)(x^{2}+y^{2})^{-3/2}\cdot2y =-\frac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.
Pela igualdade das derivadas mistas de Clairaut, temos f_{yx}=f_{xy}.
3. Finalmente, para \displaystyle f_{yy} podemos repetir o passo 1 espelhando x e y, ou derivar
\displaystyle f_{y}=y\,(x^{2}+y^{2})^{-1/2}, resultando em
f_{yy} =\frac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\quad \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} =\frac{y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}},\quad \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} =-\frac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}},\quad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} =\frac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.

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