Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo:
Passo 1
O exercício pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem, incluindo as cruzadas, da função
. Vamos usar as regras de derivação para funções compostas (cadeia), produto e a derivada de
.
Passo 2
Para as derivadas parciais de primeira ordem aplicamos a regra da cadeia na parte
e a derivada de
. Obtemos:
Passo 3
A partir de
, calculamos as derivadas de segunda ordem que envolvem
. Usamos regra do produto e da cadeia para cada variável. Assim:
Passo 4
Agora, a partir de
, calculamos as derivadas de segunda ordem que envolvem
. Aplicamos regra do produto e derivada de
. Assim:
Passo 5
Por fim, a partir de
, calculamos a derivada de segunda ordem em relação a
, usando regra da cadeia:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são:
As derivadas parciais de segunda ordem são:
Observação: como a função é
, vale
,
e
.