Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo:
f(x, y, z)=e^x y^2+ln (y+z)

Passo 1

O exercício pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem, incluindo as cruzadas, da função f(x,y,z)=e^x y^2+ln(y+z). Vamos usar as regras de derivação para funções compostas (cadeia), produto e a derivada de ln.

Passo 2

Para as derivadas parciais de primeira ordem aplicamos a regra da cadeia na parte e^x y^2 e a derivada de ln(y+z). Obtemos:
fx=partial fpartial x=y^2e^x y^2
fy=partial fpartial y=2x y,e^x y^2+1y+z
fz=partial fpartial z=1y+z

Passo 3

A partir de fx=y^2e^x y^2, calculamos as derivadas de segunda ordem que envolvem x. Usamos regra do produto e da cadeia para cada variável. Assim:
fxx=partial^2fpartial x^2=y^2cdot y^2e^x y^2=y^4e^x y^2
fxy=partial^2fpartial ypartial x=partialpartial y(y^2e^x y^2)=2y e^x y^2+2x y^3e^x y^2=2y(1+xy^2)e^x y^2
fxz=partial^2fpartial zpartial x=0

Passo 4

Agora, a partir de fy=2x y e^x y^2+tfrac1y+z, calculamos as derivadas de segunda ordem que envolvem y. Aplicamos regra do produto e derivada de 1/(y+z). Assim:
fyy=partial^2fpartial y^2=2x e^x y^2+4x^2y^2e^x y^2-1(y+z)^2
fyz=partial^2fpartial zpartial y=-1(y+z)^2

Passo 5

Por fim, a partir de fz=tfrac1y+z, calculamos a derivada de segunda ordem em relação a z, usando regra da cadeia:
fzz=partial^2fpartial z^2=-1(y+z)^2

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
fx=y^2e^x y^2
fy=2xy,e^x y^2+1y+z
fz=1y+z
As derivadas parciais de segunda ordem são:
fxx=y^4e^x y^2
fxy=2y(1+xy^2)e^x y^2
fxz=0
fyy=2x e^x y^2+4x^2y^2e^x y^2-1(y+z)^2
fyz=-1(y+z)^2
fzz=-1(y+z)^2
Observação: como a função é C^2, vale fyx=fxy, fzx=fxz e fzy=fyz.

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